3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы

Найдите все натуральные числа $N$, для которых существует треугольник, который можно разрезать на $N$ подобных четырёхугольников.

Комментарий/решение

Ответ: $N \geq 3.$

Очевидно, что $N=1$ не подходит.

Рассмотрим $N=2$: в таком случае рассмотрим точку $X$ внутри треугольника $ABC$. Тогда допустим, что можно разделить треугольник на два подобных четырехугольника и оба имеют вершину $X$. Однако в таком случае либо один четырехугольник - выпуклый, а второй - нет, либо оба четырехугольника вырожденные, значит на 2 четырехугольника разделить нельзя.

Рассмотрим случай $N=3$: пусть дан правильный треугольник $ABC$, $O$ - его центр. Точки $D,E,F$ на его сторонах $BC,CA,AB$ таковы, что: все три четырехугольника $AEOF,BDOF,CEOD$ равнобокие трапеции.

Для $N>3$ просто продолжим стороны $AB,AC$ (за $B$ и $C$) до точек $(i \geq 1)$ $B_i,C_i$ так, что $AB_{i-1}=AC_{i-1}=\frac{AB_i}{2}=\frac{AC_i}{2}$ $(B_0=B,C_0=C)$. Тогда в таком случае трапеция $B_{i-1}B_iC_iC_{i-1}$ будет подобна трапеции $AEOF$, что и требовалось.