Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2016 год

Задача №1. Назовем замечательным треугольник

$ABC$ , для которого выполнено следующее условие: пусть

$D$ — произвольная точка на стороне

$BC$ , а

$P$ и

$Q$ — проекции точки

$D$ на прямые

$AB$ и

$AC$ соответственно; тогда точка, симметричная точке

$D$ относительно прямой

$PQ$ , лежит на окружности, описанной около треугольника

$ABC$ .
Докажите, что треугольник

$ABC$ является замечательным тогда и только тогда, когда

$\angle A=90^\circ$ и

$AB=AC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Натуральное число назовем чудесным, если оно может быть представлено в виде

${{2}^{{{a}_{1}}}}+{{2}^{{{a}_{2}}}}+\ldots +{{2}^{{{a}_{100}}}},$ где

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{100}}$ — неотрицательные целые числа, не обязательно различные. Найдите наименьшее натуральное

$n$ такое, что ни одно натуральное число, делящееся на

$n$ , не является чудесным.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$AB$ и

$AC$ — два различных луча, не лежащих на одной прямой, и пусть

$\omega$ — окружность с центром

$O$ , которая касается луча

$AC$ в точке

$E$ и касается луча

$AB$ в точке

$F$ . Пусть

$R$ — точка на отрезке

$EF$ . Прямая, параллельная

$EF$ и проходящая через точку

$O$ , пересекает прямую

$AB$ в точке

$P$ . Пусть

$N$ — точка пересечения прямых

$PR$ и

$AC$ , а

$M$ — точка пересечения прямой

$AB$ с прямой, параллельной

$AC$ и проходящей через

$R$ . Докажите, что прямая

$MN$ касается окружности

$\omega$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. В стране 2016 городов. Авиакомпания Starways хочет организовать односторонние рейсы между некоторыми парами городов так, чтобы из каждого города выходил ровно один рейс.
Найдите наименьшее натуральное

$k$ , удовлетворяющее условию: как бы авиакомпания ни организовала рейсы, все города можно будет разбить на

$k$ групп так, что из любого города нельзя будет добраться ни до какого другого города той же группы, используя не более 28 рейсов.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все функции

$f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ такие, что равенство

$(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$ выполнено для всех положительных

$x,y,z$ . (Через

${{\mathbb{R}}^{+}}$ обозначено множество всех положительных действительных чисел.)
комментарий/решение(3)

результаты