қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышын ғажайып деп атайық, егер келесі шарт орындалса: $D$ нүктесі — $BC$ қабырғасындағы кез келген нүкте болсын, ал $P$ және $Q$ нүктелері — $D$ нүктесінің сәйкесінше $AB$ және $AC$ түзулеріне түсірілген проекциялар табандары; онда $D$ нүктесіне $PQ$-ға қарағандағы симметриялы нүкте, $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатса.
$ABC$ үшбұрышының ғажайып үшбұрыш екенін тек $\angle A=90^{\circ}$ және $AB=AC$ болғанда, және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Егер натурал санды $2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots + 2^{a_{100}}$ түрінде келтіруге болса, бұл жерде $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ — теріс емес бүтін сандар (міндетті түрде бірдей әртүрлі емес), онда ондай санды тамаша сан деп атайық. $n$-ге бөлінетін сандардың ешқайсысы тамаша болмайтындай, ең кіші натурал $n$ санын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $AB$ және $AC$ — бір түзудің бойында жатпайтын екі әртүрлі сәулелер болсын. Центрі $O$ болатын $\omega $ шеңбері $AC$ сәулесін $E$, ал $AB$ сәулесін $F$ нүктесінде жанайды.
$R$ нүктесі — $EF$ кесіндісіндегі кез келген нүкте болсын. $O$ нүктесі арқылы өтетін және $EF$-ке параллель түзу $AB$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $PR$ түзуі $AC$ түзуін $N$, ал $AC$-ға параллель және $R$ арқылы өтетін түзу $AB$ түзуін $M$ нүктесінде қияды. $MN$ түзуі $\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Бір елде 2016 қала бар. Starways авиакомпаниясы бірнеше ел жұптары арасында, әр қаладан дәл бір сапар шығатындай бір бағытты сапарлар ұйымдастырғысы келеді. Келесі шарттар орындалатындай ең кіші натурал $k$ санын табыңыздар: авиакомпания сапарларды қалай ұйымдастырмаса да, кез келген қаладан сол қала кіретін жиындағы кез келген басқа қалаға 28-ден артық емес сапар жасау арқылы жете алмайтындай, барлық қалаларды $k$ жиынға бөлуге болады.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Нақты оң сандар жиынын $\mathbb{R}^{+}$ арқылы белгілейік. Кез келген нақты оң $x, y, z$ сандары үшін $$(z+1)f(x+y) = f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$$ теңдігі орындалатын барлық $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)