Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2016 жыл

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышын ғажайып деп атайық, егер келесі шарт орындалса:

$D$ нүктесі —

$BC$ қабырғасындағы кез келген нүкте болсын, ал

$P$ және

$Q$ нүктелері —

$D$ нүктесінің сәйкесінше

$AB$ және

$AC$ түзулеріне түсірілген проекциялар табандары; онда

$D$ нүктесіне

$PQ$ -ға қарағандағы симметриялы нүкте,

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатса.

$ABC$ үшбұрышының ғажайып үшбұрыш екенін тек

$\angle A=90^{\circ}$ және

$AB=AC$ болғанда, және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Егер натурал санды

$2^{a_1}+2^{a_2}+\ldots + 2^{a_{100}}$ түрінде келтіруге болса, бұл жерде

$a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ — теріс емес бүтін сандар (міндетті түрде бірдей әртүрлі емес), онда ондай санды тамаша сан деп атайық.

$n$ -ге бөлінетін сандардың ешқайсысы тамаша болмайтындай, ең кіші натурал

$n$ санын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$AB$ және

$AC$ — бір түзудің бойында жатпайтын екі әртүрлі сәулелер болсын. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңбері

$AC$ сәулесін

$E$ , ал

$AB$ сәулесін

$F$ нүктесінде жанайды.

$R$ нүктесі —

$EF$ кесіндісіндегі кез келген нүкте болсын.

$O$ нүктесі арқылы өтетін және

$EF$ -ке параллель түзу

$AB$ түзуін

$P$ нүктесінде қияды.

$PR$ түзуі

$AC$ түзуін

$N$ , ал

$AC$ -ға параллель және

$R$ арқылы өтетін түзу

$AB$ түзуін

$M$ нүктесінде қияды.

$MN$ түзуі

$\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Бір елде 2016 қала бар. Starways авиакомпаниясы бірнеше ел жұптары арасында, әр қаладан дәл бір сапар шығатындай бір бағытты сапарлар ұйымдастырғысы келеді. Келесі шарттар орындалатындай ең кіші натурал

$k$ санын табыңыздар: авиакомпания сапарларды қалай ұйымдастырмаса да, кез келген қаладан сол қала кіретін жиындағы кез келген басқа қалаға 28-ден артық емес сапар жасау арқылы жете алмайтындай, барлық қалаларды

$k$ жиынға бөлуге болады.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Нақты оң сандар жиынын

$\mathbb{R}^{+}$ арқылы белгілейік. Кез келген нақты оң

$x, y, z$ сандары үшін

$(z+1)f(x+y) = f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$ теңдігі орындалатын барлық

$f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

результаты