Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2016 год
Задача №1. Назовем замечательным треугольник ABC, для которого выполнено следующее условие: пусть D — произвольная точка на стороне BC, а P и Q — проекции точки D на прямые AB и AC соответственно; тогда точка, симметричная точке D относительно прямой PQ, лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
Докажите, что треугольник ABC является замечательным тогда и только тогда, когда ∠A=90∘ и AB=AC.
комментарий/решение(2)
Докажите, что треугольник ABC является замечательным тогда и только тогда, когда ∠A=90∘ и AB=AC.
комментарий/решение(2)
Задача №2. Натуральное число назовем чудесным, если оно может быть представлено в виде
2a1+2a2+…+2a100,
где a1, a2, …, a100 — неотрицательные целые числа, не обязательно различные.
Найдите наименьшее натуральное n такое, что ни одно натуральное число, делящееся на n, не является чудесным.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть AB и AC — два различных луча, не лежащих на одной прямой, и пусть ω — окружность с центром O, которая касается луча AC в точке E и касается луча AB в точке F. Пусть R — точка на отрезке EF. Прямая, параллельная EF и проходящая через точку O, пересекает прямую AB в точке P. Пусть N — точка пересечения прямых PR и AC, а M — точка пересечения прямой AB с прямой, параллельной AC и проходящей через R. Докажите, что прямая MN касается окружности ω.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. В стране 2016 городов. Авиакомпания Starways хочет организовать односторонние рейсы между некоторыми парами городов так, чтобы из каждого города выходил ровно один рейс.
Найдите наименьшее натуральное k, удовлетворяющее условию: как бы авиакомпания ни организовала рейсы, все города можно будет разбить на k групп так, что из любого города нельзя будет добраться ни до какого другого города той же группы, используя не более 28 рейсов.
комментарий/решение(1)
Найдите наименьшее натуральное k, удовлетворяющее условию: как бы авиакомпания ни организовала рейсы, все города можно будет разбить на k групп так, что из любого города нельзя будет добраться ни до какого другого города той же группы, используя не более 28 рейсов.
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все функции f:R+→R+ такие, что равенство
(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)
выполнено для всех положительных x,y,z. (Через R+ обозначено множество всех положительных действительных чисел.)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)