Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Көл жағалауында шеңбер бойымен 5 кемежай тұр. Әр кемежайда бір адамнан бар, ал олардың біреуінде бір орынды кеме бар. Көрші кемежайдағы адамдар бір-бірімен араздықта, сол үшін бір-бірін көргісі келмейді. Егер оларға тек көл арқылы ғана орын ауыстыруға рұқсат болса, онда әр адам сағат бойымен алғандағы көрші кемежайға қалай ауыса алады?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Марс планетасының парламентінде үш партия мәжіліс жасайды: «Дауысты», «Дауыссыз» және «Ызың». Әр партияда 50 депутат бар. Депутаттар «Марс арықтарын қайта жөндеу» заңын дауысқа салды. Дауыс беру аяқталғаннан кейін әр партиядан 30 депутат «ия» деп, әр партиядан 10 депутат «қарсымын» деп, ал қалғандары «қалыспын» деп дауыс бергені тұралы айтты. «Дауысты» партиясынан заңды кім қолдады, тек солар ғана, «Дауыссыз» партиясынан кім қарсы дауыс берді, тек солар ғана, ал «Ызың» партиясында кім қалыс қалды, тек солар ғана шындықты айтқан. Егер «Ия» деген дауыс саны $50 \%$-дан кем болмаса, онда заң қабылданады. Парламентте заңды қабылдады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышы $B$ бұрышынан екі есе үлкен, ал $CD$ — үшбұрыштың биссектрисасы. $BC$ қабырғасының ортасы $M$ нүктесінен $CD$ кесіндісіне $MH$ перпендикуляры түсірілген. $AB$ қабырғасында, $KMH$ үшбұрышы теңқабырғалы болатындай, $K$ нүктесі табылған. $M$, $H$ және $A$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Тақтаға 10 натурал сандар жазды. Егер осы сандардар кез келген үшеуін белгілеп алса, онда сол үшеуінің қосындысы осы үштіктегі екі санға бөлінетіні белгілі. Жазылған сандар ішінде тең екі сан бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Бірінші сан екінші саннан 2016 есе үлкен, ал оның цифрларының қосындысы екінші санның цифрлар қосындысынан 2016 есе кіші болатын екі натурал сандар табылады ма?
комментарий/решение(1)