Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Дистанционный этап

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Бірінші сан екінші саннан 2016 есе үлкен, ал оның цифрларының қосындысы екінші санның цифрлар қосындысынан 2016 есе кіші болатын екі натурал сандар табылады ма?

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Да, существуют. Рассмотрим, например, число $A$ вида $11\ldots 15$ , где количество единиц больше $10$ . Умножая $A$ на $2016$ , получаем:

11 \dots 15 \times 2016 = 10080 + 20160 + 201600 + 2016000 + \dots

$11 \ldots 15 \times 2016 = 10080+20160+201600+2016000+ \ldots$

\dots + 201600 \dots 0 = 2240 \dots 007840

$\ldots +201600 \ldots 0 = 2240 \ldots 007840$ (тут образуется много девяток ввиду

2 + 0 + 1 + 6 = 9

$2+0+1+6 = 9$ , но они все исчезают за счет бегущего перехода через десяток). Сумма цифр произведения равна

27

$27$ независимо от количеств единиц в записи числа

A

$A$ . Чтобы сумма цифр числа

A

$A$ была в

2016

$2016$ раз больше, в его записи должно быть

27 \times 2016 - 5

$27\times 2016-5$ единиц.