Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, III тур дистанционного этапа

Существуют ли такие два числа, что первое больше второго в 2016 раз, а сумма его цифр меньше суммы цифр второго в 2016 раз?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Да, существуют. Рассмотрим, например, число $A$ вида $11\ldots 15$, где количество единиц больше $10$. Умножая $A$ на $2016$, получаем: $$11 \ldots 15 \times 2016 = 10080+20160+201600+2016000+ \ldots$$ $$\ldots +201600 \ldots 0 = 2240 \ldots 007840$$ (тут образуется много девяток ввиду $2+0+1+6 = 9$, но они все исчезают за счет бегущего перехода через десяток). Сумма цифр произведения равна $27$ независимо от количеств единиц в записи числа $A$. Чтобы сумма цифр числа $A$ была в $2016$ раз больше, в его записи должно быть $27\times 2016-5$ единиц.