Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Бірінші сан екінші саннан 2016 есе үлкен, ал оның цифрларының қосындысы екінші санның цифрлар қосындысынан 2016 есе кіші болатын екі натурал сандар табылады ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Да, существуют. Рассмотрим, например, число $A$ вида $11\ldots 15$, где количество единиц больше $10$. Умножая $A$ на $2016$, получаем: $$11 \ldots 15 \times 2016 = 10080+20160+201600+2016000+ \ldots $$ $$ \ldots +201600 \ldots 0 = 2240 \ldots 007840$$ (тут образуется много девяток ввиду $2+0+1+6 = 9$, но они все исчезают за счет бегущего перехода через десяток). Сумма цифр произведения равна $27$ независимо от количеств единиц в записи числа $A$. Чтобы сумма цифр числа $A$ была в $2016$ раз больше, в его записи должно быть $27\times 2016-5$ единиц.