қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 19-шы Балкан олимпиадасы 2015 жыл, Белград, Сербия
Есеп №1. Теңдеуді қанағаттандыратындай барлық $a$, $b$, $c$ жай сандарын және $k$ натурал сандарды табыңыздар $a^2+b^2+16c^2=9k^2+1.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $a$, $b$, $c$ үш оң нақты сандарының қосындысы $3$-ке тең. Мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар: $ A=\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}+\dfrac{2-c^3}{c}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $ABC$ — сүйірбұрышты үшбұрыш болсын. $l_1$ және $l_2$ түзулері $AB$-ға перпендикуляр және сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелері арқылы өтеді. $AB$ кесіндісінің ортасы $M$ нүктесінен $AC$ және $BC$ түзулеріне жүргізілген перпендикулярлар $l_1$ және $l_2$ түзулерін сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелеінде қияды. $EF$ және $MC$ түзулері $D$ нүктесінде қиылысады. $\angle ADB = \angle EMF$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Қабырғасы 1 болатын үш квадраттардан тұратын «L» әрпі түріндегі фигура «бұрыш» деп аталады.
25 бірлік квадраттан тұратын $5 \times 5$ торлы кестесі берілген және $k \leq 25$ натурал саны берілген. $A$ және $B$ екі ойыншысы келесі ойынды ойнайды: олар кезекпен белгіленген торлар саны $k$ болғанша, оған дейін белгіленбеген торларды белгілейді(әрбір жүрісте бір тордан). $A$ бастайды.
Жақсы бөлу деп кез келген екі бұрыштың ортақ торы болмайтындай және олардың әрбірі тақтаның дәл үш белгіленбеген торын басатындай, белгіленбеген торлардан тұратын бұрыштарға бөлуді айтамыз.
Егер кез келген жақсы жабу кезінде кем дегенде үш белгіленбеген тор қалып қойса $B$ ұтады. $B$ ойыншысының ұтыс стратегиясы болатындай ең кіші $k$-ны табыңыздар.
комментарий/решение
25 бірлік квадраттан тұратын $5 \times 5$ торлы кестесі берілген және $k \leq 25$ натурал саны берілген. $A$ және $B$ екі ойыншысы келесі ойынды ойнайды: олар кезекпен белгіленген торлар саны $k$ болғанша, оған дейін белгіленбеген торларды белгілейді(әрбір жүрісте бір тордан). $A$ бастайды.
Жақсы бөлу деп кез келген екі бұрыштың ортақ торы болмайтындай және олардың әрбірі тақтаның дәл үш белгіленбеген торын басатындай, белгіленбеген торлардан тұратын бұрыштарға бөлуді айтамыз.
Егер кез келген жақсы жабу кезінде кем дегенде үш белгіленбеген тор қалып қойса $B$ ұтады. $B$ ойыншысының ұтыс стратегиясы болатындай ең кіші $k$-ны табыңыздар.
комментарий/решение