19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Сербия, 2015 год
Комментарий/решение:
Ответ:(a,b,c,k)=(3,3,2,3),(3,37,3,13),(37,3,3,13),(3,37,3,13),(37,3,3,13).
Заметим что 1 \equiv a^2+b^2+c^2 \pmod 3, значит 2 числа из a,b,c делится на 3, и равны 3. Рассмотрим 2 случая:
I) a=b=3, 18+16c^2=9k^2+1. Тогда 17=(3k-4c)(3k+4c), с помощью уравнения диафана легко можно найти k=3,c=2.
II) a=c=3, 153+b^2=9k^2+1. Тогда 152=(3k-b)(3k+b). Заметим что (3k-b)+(3k+b)=6k, а соотвествующие делители 152=2*76=4*38. И дальше по диафана можно найти решение k=13,b=37 и k=7,b=17.
Извините, еще не читал решение, но в моем решений еще есть ответ (a,b,c,k)=(3,17,3,7), (17,3,3,7)
P.S. (3k-b)(3k+b)=152=19 \cdot 8, имеем несколько случаев:
1) 3k-b \vdots 19, тогда 8 \geq 3k+b>3k-b \geq 19, a contradiction
2) 3k-b=2^x, 3k+b=2^{3-x} \cdot 19. Если x=0, то 6k=нечет, но это не так. Если же x=1, то получаем ответ k=13, b=37, a=c=3, а если x=2, то k=7, b=17, a=c=3.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.