Processing math: 16%

19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Белград, Сербия, 2015 год


Найдите все простые числа a, b, c и натуральные k, удовлетворяющие уравнению a2+b2+16c2=9k2+1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
3 года 9 месяца назад #

Ответ:(a,b,c,k)=(3,3,2,3),(3,37,3,13),(37,3,3,13),(3,37,3,13),(37,3,3,13).

Заметим что 1 \equiv a^2+b^2+c^2 \pmod 3, значит 2 числа из a,b,c делится на 3, и равны 3. Рассмотрим 2 случая:

I) a=b=3, 18+16c^2=9k^2+1. Тогда 17=(3k-4c)(3k+4c), с помощью уравнения диафана легко можно найти k=3,c=2.

II) a=c=3, 153+b^2=9k^2+1. Тогда 152=(3k-b)(3k+b). Заметим что (3k-b)+(3k+b)=6k, а соотвествующие делители 152=2*76=4*38. И дальше по диафана можно найти решение k=13,b=37 и k=7,b=17.

пред. Правка 3   1
3 года 9 месяца назад #

Извините, еще не читал решение, но в моем решений еще есть ответ (a,b,c,k)=(3,17,3,7), (17,3,3,7)

P.S. (3k-b)(3k+b)=152=19 \cdot 8, имеем несколько случаев:

1) 3k-b \vdots 19, тогда 8 \geq 3k+b>3k-b \geq 19, a contradiction

2) 3k-b=2^x, 3k+b=2^{3-x} \cdot 19. Если x=0, то 6k=нечет, но это не так. Если же x=1, то получаем ответ k=13, b=37, a=c=3, а если x=2, то k=7, b=17, a=c=3.

  0
3 года 9 месяца назад #

Да ты прав. Я не указал этот ответ, сам написал что 152=4•38(Из которого выходит этот ответ) но не рассмотрел этот случай, походу забыл)