19-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Белград, Сербия, 2015 год

Найдите все простые числа $a$, $b$, $c$ и натуральные $k$, удовлетворяющие уравнению $a^2+b^2+16c^2=9k^2+1.$

Комментарий/решение

$Ответ: (a,b,c,k)=(3,3,2,3),(3,37,3,13),(37,3,3,13),(3,37,3,13),(37,3,3,13).$

Заметим что $1 \equiv a^2+b^2+c^2 \pmod 3$, значит 2 числа из $a,b,c$ делится на 3, и равны 3. Рассмотрим 2 случая:

$I)$ $a=b=3$, $18+16c^2=9k^2+1$. Тогда $17=(3k-4c)(3k+4c)$, с помощью уравнения диафана легко можно найти $k=3,c=2$.

$II)$ $a=c=3$, $153+b^2=9k^2+1$. Тогда $152=(3k-b)(3k+b)$. Заметим что $(3k-b)+(3k+b)=6k$, а соотвествующие делители $152=2*76=4*38$. И дальше по диафана можно найти решение $k=13,b=37$ и $k=7,b=17$.

Извините, еще не читал решение, но в моем решений еще есть ответ $(a,b,c,k)=(3,17,3,7), (17,3,3,7)$

$P.S. (3k-b)(3k+b)=152=19 \cdot 8$, имеем несколько случаев:

$1) 3k-b$ $\vdots$ $19$, тогда $8 \geq 3k+b>3k-b \geq 19,$ a contradiction

$2)$ $3k-b=2^x, 3k+b=2^{3-x} \cdot 19.$ Если $x=0$, то $6k$=нечет, но это не так. Если же $x=1$, то получаем ответ $k=13, b=37, a=c=3$, а если $x=2$, то $k=7, b=17, a=c=3.$

Да ты прав. Я не указал этот ответ, сам написал что $152=4•38$(Из которого выходит этот ответ) но не рассмотрел этот случай, походу забыл)