Математикадан 53-ші халықаралық олимпиада, 2012 жыл, Мар-дель-Плата

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$J$ нүктесі

$A$ төбесіне сәйкес сырттай-іштей сызылған шеңбердің центрі. Осы сырттай-іштей сызылған шеңбер

$BC$ кесіндісін

$M$ нүктесінде, ал

$AB$ және

$AC$ түзулерін сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде жанайды.

$LM$ және

$BJ$ түзулері

$F$ нүктесінде, ал

$KM$ және

$CJ$ түзулері

$G$ нүктесінде қиылысады.

$S$ —

$AF$ және

$BC$ түзулерінің, ал

$T$ —

$AG$ және

$BC$ түзулерінің қиылысу нүктелері болсын.

$M$ нүктесі

$ST$ кесіндісінің ортасы болатынын дәлелдеңдер. (

$ABC$ үшбүрышының

$A$ төбесіне сәйкес сырттай-іштей сызылған шеңбер деп

$BC$ қабырғасын және

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының созындыларын жанайтын шеңберді атаймыз.)
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$n\ge 3$ бүтін саны және

${{a}_{2}}{{a}_{3}}\ldots {{a}_{n}}=1$ болатын

${{a}_{2}}$ ,

${{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ оң нақты сандары берілген.

${{(1+{{a}_{2}})}^{2}}{{(1+{{a}_{3}})}^{3}}\ldots {{(1+{{a}_{n}})}^{n}} > {{n}^{n}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$A$ және

$B$ ойыншылары «Өтірікті анықта» деген ойын ойнайды. Бұл ойынның ережесі

$k$ және

$n$ оң бүтін сандарына байланысты және бұл сандар екі ойыншыға да белгілі.
Ойын басында

$A$ ойыншы

$x$ және

$N$ сандарын

$1\le x\le N$ болатындай таңдап алады.

$A$ ойыншысы

$x$ санын құпияда сақтап, ал

$N$ санын

$B$ ойыншыға шын айтады. Осыдан кейін

$B$ ойыншы

$A$ ойыншыға сұрақтар қойып

$x$ саны туралы мәлімет алуға тырысады. Сұрақтардың түрлері осындай: әрбір сұрақта

$B$ ойыншы өз қалауынша натурал сандардан тұратын

$S$ жиынын таңдап (бұл жиын алғашқы сұрақтардың бірінде кездесуі мүмкін),

$x$ саны осы жиынға тиісті ме екенін

$A$ ойыншыдан сұрайды.

$B$ ойыншы қанша сұрақ қойғысы келсе, сонша сұрақ қоя алады.

$B$ ойыншының әр сұрағына

$A$ ойыншы иә немесе жоқ деп бірден жауап беруге тиіс, бірақ қанша рет болса да өтірік жауап беруіне болады; тек қана бір шектеу бар: кез келген

$k+1$ қатар келетін жауаптардың ішінде кемінде бір шын жауап болуы тиіс.

$B$ өзі қажет деп санаған сұрақтар қойғаннан кейін элементтер саны

$n$ -нен көп емес натурал сандардан тұратын

$X$ жиынын көрсетуі тиіс. Егер

$x$ ол

$X$ жиынына тиісті болса, онда ойыншы

$B$ жеңеді; басқа жағдайда

$B$ жеңіледі. Дәлелдеңдер:
1. Егер

$n\ge {{2}^{k}}$ болса, онда

$B$ ойыншының жеңіс стратегиясы бар.
2. Кез келген жеткілікті үлкен

$k$ саны үшін,

$B$ -ның жеңіс стратегиясы жоқ болатындай

$n\ge {{1,99}^{k}}$ бүтін саны табылады.
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$a+b+c=0$ шартын қанағаттандыратын кез келген бүтін

$a,b,c$ сандары үшін

$f{{(a)}^{2}}+f{{(b)}^{2}}+f{{(c)}^{2}}=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$ теңдігі орындалатын барлық

$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ функцияларын анықтаңдар. (Мұндағы

$\mathbb{Z}$ — бүтін сандар жиыны.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\angle BCA=90{}^\circ$ болатын

$ABC$ үшбұрышы берілген,

$D$ нүктесі

$C$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны.

$CD$ кесіндісінің ішінен

$X$ нүктесі алынған.

$BK=BC$ болатындай

$AX$ кесіндісінен

$K$ нүктесі алынған. Дәл осылай,

$AL=AC$ болатындай

$BX$ кесіндісінен

$L$ нүктесі алынған.

$M$ —

$AL$ және

$BK$ кесінділерінің қиылысу нүктесі.

$MK=ML$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{n}}}}}=\dfrac{1}{{{3}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{2}{{{3}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{n}{{{3}^{{{a}_{n}}}}}=1$ теңдігі орындалатындай

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ теріс емес бүтін сандар табылатындай барлық натурал

$n$ сандарын анықтаңдар.
комментарий/решение

результаты