Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 53-ші халықаралық олимпиада, 2012 жыл, Мар-дель-Плата


a+b+c=0 шартын қанағаттандыратын кез келген бүтін a,b,c сандары үшін f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a) теңдігі орындалатын барлық f:ZZ функцияларын анықтаңдар. (Мұндағы Z — бүтін сандар жиыны.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2 года 10 месяца назад #

Ответ: Для любой целой константы C:

1) f(2x)0,f(2x+1)C,

2) f(4x)0,f(4x+2)4C,f(4x+1)f(4x+3)C.

3) f(x)Cx2,

Решение: Пусть P(a,b,c) обозначает условие. Из P(0,0,0) и P(x,x,0) получаем, что f(0)=0,f(x)=f(x).

Преобразуем условие:

(f(a)+f(b)f(a+b))2=4f(a)f(b),a,bZ.

Из условия следует, что f в любой точке имеет один и тот же знак. Замена ff ничего не меняет, поэтому БОО f(x)0,x.

Еще раз преобразуем условие

f(a+b)=f(a)+f(b)±2f(a)f(b)f(a+b)=|f(a)±f(b)|

Q(a,b):g(a+b)=|g(a)±g(b)|,a,bZ,

где g(x)=f(x)0. Теперь рассмотрим несколько случаев.

Пусть g(1)=c0. Из Q(1,1): g(2)=0 или g(2)=2c.

1) g(2)=0. Из Q(i,2) индукцией легко вывести g(2x)0,g(2x+1)c. Отсюда ответ

f(2x)0,f(2x+1)C=c2Z.

Теперь g(2)=2c. Из Q(2,1): g(3)=c или g(3)=3c.

2) g(3)=c. Из Q(2,2) и Q(3,1):g(4)=0.

Из Q(i,4) индукцией легко вывести g(4x)0,g(4x+2)=2c,g(4x+1)=g(4x+3)=c. Отсюда ответ

f(4x)0,f(4x+2)4C,f(4x+1)f(4x+3)C=c2Z.

3) g(3)=3c. Из Q(i1,1),Q(i2,2) для i4 индукцией легко вывести, что g(x)cx. Отсюда ответ

f(x)Cx2,C=c2Z.