53-я Международная Математическая Oлимпиада
Аргентина, Мар-дель-Плата, 2012 год

Задача №1.  Дан треугольник $ABC$; точка $J$ является центром вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$. Эта вневписанная окружность касается отрезка $BC$ в точке $M$, а прямых $AB$ и $AC$ — в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $LM$ и $BJ$ пересекаются в точке $F$, а прямые $KM$ и $CJ$ пересекаются в точке $G$. Пусть $S$ — точка пересечения прямых $AF$ и $BC$, а $T$ — точка пересечения прямых $AG$ и $BC$. Докажите, что точка $M$ является серединой отрезка $ST$. (Вневписанной окружностью треугольника $ABC$, соответствующей вершине $A$, называется окружность, касающаяся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.)
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Дано целое число $n\ge 3$ и действительные положительные числа ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ такие, что ${{a}_{2}}{{a}_{3}}\ldots {{a}_{n}}=1$. Докажите, что $${{(1+{{a}_{2}})}^{2}}{{(1+{{a}_{3}})}^{3}}\ldots {{(1+{{a}_{n}})}^{n}} > {{n}^{n}}.$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Два игрока $A$ и $B$ играют в игру Угадай-ка. Правила этой игры зависят от двух положительных целых чисел $k$ и $n$, и эти числа известны обоим игрокам. В начале игры $A$ выбирает целые числа $x$ и $N$ такие, что $1\le x\le N$. Игрок $A$ держит число $x$ в секрете, а число $N$ честно сообщает игроку $B$. После этого игрок $B$ пытается получить информацию о числе $x$, задавая игроку $A$ вопросы следующего типа: за один вопрос $B$ указывает по своему усмотрению множество $S$, состоящее из целых положительных чисел (возможно, это множество уже было указано в одном из предыдущих вопросов) и спрашивает игрока $A$ принадлежит ли число $x$ множеству $S$. Игрок $B$ может задать столько вопросов, сколько он хочет. На каждый вопрос игрока $B$ игрок $A$ должен сразу ответить да или нет, при этом ему разрешается соврать столько раз, сколько он хочет; единственное ограничение состоит в том, что из любых $k+1$ подряд идущих ответов хотя бы один ответ должен быть правдивым.
После того, как $B$ задаст столько вопросов, сколько он сочтет нужным, он должен указать множество $X$, содержащее не более $n$ целых положительных чисел. Если $x$принадлежит множеству $X$, то игрок $B$ выиграл; иначе $B$ проиграл. Докажите, что:
1. Если $n\ge {{2}^{k}}$, то $B$ может гарантировать себе выигрыш.
2. Для всякого достаточно большого $k$ найдется целое число $n\ge {{1,99}^{k}}$, при котором игрок $B$ не сможет гарантировать себе выигрыш.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Найдите все функции $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такие, что для любых целых чисел $a,b,c$, удовлетворяющих условию $a+b+c=0$, выполняется равенство: $$f{{(a)}^{2}}+f{{(b)}^{2}}+f{{(c)}^{2}}=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$$ (Через $\mathbb{Z}$ обозначено множество всех целых чисел.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $ABC$ — треугольник, в котором $\angle BCA=90{}^\circ $, и пусть $D$ — основание высоты, проведенной из вершины $C$. Внутри отрезка $CD$ взята точка $X$. Пусть $K$ — точка, лежащая на отрезке $AX$ такая, что $BK=BC$. Аналогично, пусть $L$ — точка, лежащая на отрезке $BX$ такая, что $AL=AC$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AL$ и $BK$. Докажите, что $MK=ML$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Найдите все целые положительные числа $n$, для которых существуют целые неотрицательные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $,${{a}_{n}}$ такие, что $$\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{n}}}}}=\dfrac{1}{{{3}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{2}{{{3}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{n}{{{3}^{{{a}_{n}}}}}=1.$$
комментарий/решение

---