Математикадан 51-ші халықаралық олимпиада, 2010 жыл, Астана

Есеп №1. Кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f([x]y)=f(x)[f(y)]$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. (Мұндағы

$[z]$ арқылы

$z$ -тен аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.)
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$I$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$\Gamma$ — осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер.

$AI$ түзуі

$\Gamma$ шеңберін

$A$ және

$D$ нүктелерінде қиып өтеді.

$\angle BAF=\angle CAE < \tfrac{1}{2}\angle BAC$ болатындай

$BDC$ доғасының бойынан

$E$ нүктесі, ал

$BC$ қабырғасының бойынан

$F$ нүктесі таңдап алынған.

$G$ нүктесі —

$IF$ кесіндісінің ортасы.

$DG$ және

$EI$ түзулері

$\Gamma$ шеңберінің бойында жататын нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$\mathbb{N}$ арқылы барлық оң бүтін сандар жиынын белгілейік.

$(g(m)+n)(m+g(n))$ саны кез келген

$m,n\in \mathbb{N}$ үшін қандай-да бір бүтін санның квадраты болатындай барлық

$g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$P$ нүктесі алынған.

$AP$ ,

$BP$ және

$CP$ түзулері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\Gamma$ шеңберін екінші рет сәйкесінше

$K$ ,

$L$ және

$M$ нүктелерінде қиып өтеді.

$C$ нүктесінен

$\Gamma$ шеңберіне жүргізілген жанама

$AB$ түзуін

$S$ нүктесінде қиып өтеді.

$SC=SP$ екені белгілі.

$MK=ML$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Бастапқыда

${{B}_{1}}$ ,

${{B}_{2}}$ ,

${{B}_{3}}$ ,

${{B}_{4}}$ ,

${{B}_{5}}$ ,

${{B}_{6}}$ алты жәшіктің әрқайсысының ішінде тура бір тиыннан бар. Келесі екі типті операцияларды жүзеге асыруға рұқсат:
1-ші тип:

$1\le j\le 5$ үшін кез келген бос емес

${{B}_{j}}$ жәшігін таңдап, оның ішінен бір тиынды алып тастауға және сонымен қатар

${{B}_{j+1}}$ жәшігіне екі тиын салуға болады.
2-ші тип:

$1\le k\le 4$ үшін кез келген бос емес

${{B}_{k}}$ жәшігін таңдап, оның ішінен бір тиынды алып тастауға және сонымен қатар

${{B}_{k+1}}$ жәшігінің құрамын (мүмкін бос)

${{B}_{k+2}}$ жәшігінің құрамымен (мүмкін бос) орын алмастыруға болады.
Осы операцияларды шектеулі рет қолданып,

${{B}_{1}}$ ,

${{B}_{2}}$ ,

${{B}_{3}}$ ,

${{B}_{4}}$ ,

${{B}_{5}}$ жәшіктері бос, ал

${{B}_{6}}$ жәшігінің ішінде тура

${{2010}^{{{2010}^{2010}}}}$ тиын болатындай жағдайға әкелуге бола ма? (Анықтама бойынша

${{a}^{{{b}^{c}}}}={{a}^{({{b}^{c}})}}$ .)
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Оң нақты сандардан құралған

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

${{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ тізбегі берілген. Қандай-да бір белгіленген оң бүтін

$s$ саны үшін келесі теңдік

${{a}_{n}}=\max \{{{a}_{k}}+{{a}_{n-k}}|1\le k\le n-1\}$ кез келген

$n > s$ үшін орындалатыны белгілі.

$\ell \le s$ және барлық

$n\ge N$ үшін

${{a}_{n}}={{a}_{\ell }}+{{a}_{n-\ell }}$ болатындай оң бүтін

$\ell$ және

$N$ сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

результаты