қазақша
русскийМатематикадан 51-ші халықаралық олимпиада, 2010 жыл, Астана
Есеп №1. Кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $f([x]y)=f(x)[f(y)]$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. (Мұндағы $[z]$ арқылы $z$-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $I$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі, ал $\Gamma $ — осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер. $AI$ түзуі $\Gamma $ шеңберін $A$ және $D$ нүктелерінде қиып өтеді. $\angle BAF=\angle CAE < \tfrac{1}{2}\angle BAC$ болатындай $BDC$ доғасының бойынан $E$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасының бойынан $F$ нүктесі таңдап алынған. $G$ нүктесі — $IF$ кесіндісінің ортасы. $DG$ және $EI$ түзулері $\Gamma $ шеңберінің бойында жататын нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $\mathbb{N}$ арқылы барлық оң бүтін сандар жиынын белгілейік. $(g(m)+n)(m+g(n))$ саны кез келген $m,n\in \mathbb{N}$ үшін қандай-да бір бүтін санның квадраты болатындай барлық $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынған. $AP$, $BP$ және $CP$ түзулері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\Gamma$ шеңберін екінші рет сәйкесінше $K$, $L$ және $M$ нүктелерінде қиып өтеді. $C$ нүктесінен $\Gamma$ шеңберіне жүргізілген жанама $AB$ түзуін $S$ нүктесінде қиып өтеді. $SC=SP$ екені белгілі. $MK=ML$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Бастапқыда ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{B}_{3}}$, ${{B}_{4}}$, ${{B}_{5}}$, ${{B}_{6}}$ алты жәшіктің әрқайсысының ішінде тура бір тиыннан бар. Келесі екі типті операцияларды жүзеге асыруға рұқсат:
1-ші тип: $1\le j\le 5$ үшін кез келген бос емес ${{B}_{j}}$ жәшігін таңдап, оның ішінен бір тиынды алып тастауға және сонымен қатар ${{B}_{j+1}}$ жәшігіне екі тиын салуға болады.
2-ші тип: $1\le k\le 4$ үшін кез келген бос емес ${{B}_{k}}$ жәшігін таңдап, оның ішінен бір тиынды алып тастауға және сонымен қатар ${{B}_{k+1}}$ жәшігінің құрамын (мүмкін бос) ${{B}_{k+2}}$ жәшігінің құрамымен (мүмкін бос) орын алмастыруға болады.
Осы операцияларды шектеулі рет қолданып, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{B}_{3}}$, ${{B}_{4}}$, ${{B}_{5}}$ жәшіктері бос, ал ${{B}_{6}}$ жәшігінің ішінде тура ${{2010}^{{{2010}^{2010}}}}$ тиын болатындай жағдайға әкелуге бола ма? (Анықтама бойынша ${{a}^{{{b}^{c}}}}={{a}^{({{b}^{c}})}}$.)
комментарий/решение(1)
1-ші тип: $1\le j\le 5$ үшін кез келген бос емес ${{B}_{j}}$ жәшігін таңдап, оның ішінен бір тиынды алып тастауға және сонымен қатар ${{B}_{j+1}}$ жәшігіне екі тиын салуға болады.
2-ші тип: $1\le k\le 4$ үшін кез келген бос емес ${{B}_{k}}$ жәшігін таңдап, оның ішінен бір тиынды алып тастауға және сонымен қатар ${{B}_{k+1}}$ жәшігінің құрамын (мүмкін бос) ${{B}_{k+2}}$ жәшігінің құрамымен (мүмкін бос) орын алмастыруға болады.
Осы операцияларды шектеулі рет қолданып, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{B}_{3}}$, ${{B}_{4}}$, ${{B}_{5}}$ жәшіктері бос, ал ${{B}_{6}}$ жәшігінің ішінде тура ${{2010}^{{{2010}^{2010}}}}$ тиын болатындай жағдайға әкелуге бола ма? (Анықтама бойынша ${{a}^{{{b}^{c}}}}={{a}^{({{b}^{c}})}}$.)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Оң нақты сандардан құралған ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, $\ldots $ тізбегі берілген. Қандай-да бір белгіленген оң бүтін $s$ саны үшін келесі теңдік ${{a}_{n}}=\max \{{{a}_{k}}+{{a}_{n-k}}|1\le k\le n-1\}$ кез келген $n > s$ үшін орындалатыны белгілі. $\ell \le s$ және барлық $n\ge N$ үшін ${{a}_{n}}={{a}_{\ell }}+{{a}_{n-\ell }}$ болатындай оң бүтін $\ell $ және $N$ сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение