51-я Международная Математическая OлимпиадаКазахстан, Астана, 2010 год

Пусть $P$— точка внутри треугольника $ABC$. Прямые $AP$, $BP$ и $CP$ вторично пересекают окружность $\Gamma$, описанную около треугольника $ABC$, в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. Касательная к окружности $\Gamma$, проведенная через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $S$. Известно, что $SC=SP$. Докажите, что $MK=ML$.

Комментарий/решение

На самом деле можно сказать следующее: $SC=SP$ тогда и только тогда, когда $MK=ML$

Пусть $\omega$ окружность с радиусом $SC$ так же $D \in \omega \cap AS$ пусть $\angle DCB = a$ и $\angle DCM = x, \ \angle BCK = y, \ \angle ABL = z$ отметим что так как $SC$ касательная $\angle BCS = \angle BAC = c$ и так как $SD=SC$ тогда $ \angle CDS = a+c$ тогда $\angle ACD = a$ то есть $CD$ биссектриса $\angle ACB$ так как $P \in \omega$ тогда $SP^2 = SC^2 = SB \cdot SA$ тогда $SP$ касательная к описанной окружности $APB$ тогда $\angle DSP = 2 \angle DCP = 2x$ тогда $z=2x+y$ значит $\angle MAK = a+x+y$ но $\angle MCL = \angle ACP + \angle ACL = a-x+z = a-x+2x+y = a+x+y$ то есть $\angle MAK = \angle MCL$ значит $ML=MK$

$SD$ вторая касательная, $DP \cap (ABC)=N$

$-1 = (A,B;C,D) \overset{P}{=} (K,L;M,N)$. Докажем что $MN$ диаметр отсюда будет следовать требуемое.Заметим что $S$ центр $(CDP)$.

$\angle MDN=180-\angle DMN-\angle DNM=180-\angle SDN-\angle DNC=90$

$D = MB \cap CK$

$X = MM \cap KL$

Паскаль для $CCMBAK$

дает $S-D-P$

Паскаль для $MMKLB$ дает $$X - D - P$$

из $CS = SP$,

$ \frac{SP}{SB} = \frac{SA}{SP} \implies \triangle PSA \sim \triangle BSP$

значит

$\angle SBP = \angle APS \implies \angle PKL = \angle AKL = \angle ABL = \angle DPK \implies DP \parallel KL$

следовательно $X = \infty$

$X = \infty \implies MM \parallel KL$