Математикадан 51-ші халықаралық олимпиада, 2010 жыл, Астана

$ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынған. $AP$, $BP$ және $CP$ түзулері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\Gamma$ шеңберін екінші рет сәйкесінше $K$, $L$ және $M$ нүктелерінде қиып өтеді. $C$ нүктесінен $\Gamma$ шеңберіне жүргізілген жанама $AB$ түзуін $S$ нүктесінде қиып өтеді. $SC=SP$ екені белгілі. $MK=ML$ болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

На самом деле можно сказать следующее: $SC=SP$ тогда и только тогда, когда $MK=ML$

Пусть $\omega$ окружность с радиусом $SC$ так же $D \in \omega \cap AS$ пусть $\angle DCB = a$ и $\angle DCM = x, \ \angle BCK = y, \ \angle ABL = z$ отметим что так как $SC$ касательная $\angle BCS = \angle BAC = c$ и так как $SD=SC$ тогда $\angle CDS = a+c$ тогда $\angle ACD = a$ то есть $CD$ биссектриса $\angle ACB$ так как $P \in \omega$ тогда $SP^2 = SC^2 = SB \cdot SA$ тогда $SP$ касательная к описанной окружности $APB$ тогда $\angle DSP = 2 \angle DCP = 2x$ тогда $z=2x+y$ значит $\angle MAK = a+x+y$ но $\angle MCL = \angle ACP + \angle ACL = a-x+z = a-x+2x+y = a+x+y$ то есть $\angle MAK = \angle MCL$ значит $ML=MK$

$SD$ вторая касательная, $DP \cap (ABC)=N$

$-1 = (A,B;C,D) \overset{P}{=} (K,L;M,N)$. Докажем что $MN$ диаметр отсюда будет следовать требуемое.Заметим что $S$ центр $(CDP)$.

$\angle MDN=180-\angle DMN-\angle DNM=180-\angle SDN-\angle DNC=90$