Математикадан 47-ші халықаралық олимпиада, 2006 жыл, Любляна

Есеп №1.

$I$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі. Үшбұрыш ішінен

$\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB$ болатындай

$P$ алынған. Дәлелдеңіздер:

$AP\ge AI$ екенін және теңдік жағдайы орындалады тек және тек сонда ғана, егер

$P$ нүктесі

$I$ нүктесімен беттессе.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$P$ дұрыс 2006-бұрыштың диагоналін жақсы дейміз, егер оның шеттері

$P$ көпбұрышын екіге бөліп, екі жағында да қабырғалар саны тақ болса.

$P$ көпбұрышының қабырғаларын да жақсы дейміз.
Ешбір екеуі

$P$ ішінде ортақ нүктесі болмайтындай

$P$ көпбұрышының 2003 диагоналі

$P$ көпбұрышын үшбұрыштарға бөледі. Бөлгенде әрбірінің екі жақсы қабырғасы болатын теңбүйірлі үшбұрыштардың ең көп мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген

$a$ ,

$b$ ,

$c$ нақты сандары үшін

$|ab({{a}^{2}}-{{b}^{2}})+bc({{b}^{2}}-{{c}^{2}})+ca({{c}^{2}}-{{a}^{2}})|\le M{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}$ теңсіздігі орындалатындай

$M$ нақты санының ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$1+{{2}^{x}}+{{2}^{2x+1}}={{y}^{2}}$ болатындай барлық

$\left( x,y \right)$ бүтін сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Коэффициенттері бүтін, дәрежесі

$n > 1$ болатын

$P\left( x \right)$ көпмүшелігі берілсін,

$k$ — кез келген натурал сан.

$Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots ))$ көпмүшелігін қарастырайық (бұл жерде

$P$ —

$k$ рет қолданылған).

$Q\left( t \right)=t$ болатындай

$n$ — нен аспайтын

$t$ бүтін сандарының табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$P$ дөңес көпбұрыштың әрбір

$b$ қабырғасы үшін

$P$ көпбұрышындағы ең үлкен үшбұрыш ауданы келетіндей бір қабырғасына

$b$ қабырғасы сәйкестендірілген.

$P$ көпбұрышының барлық қабырғаларына сәйкес келетін үшбұрыштардың аудандарының қосындысы осы көпбұрыштың екі еселенген ауданынан кем болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты