Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-x+y=10$ теңдеуін натурал сандарда шешіңіздер.
комментарий/решение(6)

Есеп №2. Шеңбер

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасын,

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының созындыларын жанайды.

$A$ төбесінен шеңбердің

$AB$ түзуімен жанасу нүктесіне дейінгі қашықтық

$ABC$ үшбұрышының жартыпериметріне тең болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қанша тәсілмен

$n$ натурал санын

$k$ натурал қосылғыштар түрінде келтіруге болады (Қосылғыштардың орналасу тәртіптерімен ажыратылатын келтірулер әр түрлі болып саналады)?
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$f(x)=|x-1|-|x-2|$ және

$g(x)=|x-3|$ функцияларын қарастырайық.
a)

$f(x)$ функциясының графигін салыңыз.
b)

$f(x)$ және

$g(x)$ функцияларының графигімен шектелген фигураның ауданын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$H$ —

$ABC$ үшбұрышының

$BH$ биіктігінің табаны.

$K$ және

$P$ нүктелері

$H$ нүктесіне сәйкесінше

$AB$ және

$BC$ қабырғаларына қарағанда симметриялы.

$KP$ кесіндісінің

$AB$ және

$BC$ қабырғаларымен (немесе олардың созындыларымен) қиылысу нүктелері —

$ABC$ үшбұрышының биіктігінің табаны болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Залда

$n > 2$ адам бар. Таныстарының саны бірдей 2 адам табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)