Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 9 класс

Пусть точки $K$ и $P$ симметричны основанию $H$ высоты $BH$ треугольника $ABC$ относительно его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Докажите, что точки пересечения отрезка $KP$ со сторонами $AB$ и $BC$ (или их продолжениями) — основания высот треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Пусть $E$– точка пересечения $KP$ и $AB.$Точки $K$, $H$ и $P$ лежат на окружности с центром в точке $B$. Пусть  $\angle HBP = \alpha$.  Тогда  $\angle HKP = \alpha/2$,  $\angle HEP$ = $2\angle HKP = \alpha$. Точки $H$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $BC$, а так как  $\angle HEP$ = $\angle HBP$, то точка $E$ также принадлежит этой окружности.Следовательно,  $\angle BEC$ = $90^\circ$,  то есть $CE$ – высота треугольника $ABC$.