Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 9 класс
Пусть точки $K$ и $P$ симметричны основанию $H$ высоты $BH$ треугольника $ABC$ относительно его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Докажите, что точки пересечения отрезка $KP$ со сторонами $AB$ и $BC$ (или их продолжениями) — основания высот треугольника $ABC$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть $E$– точка пересечения $KP$ и $AB.$Точки $K$, $H$ и $P $ лежат на окружности с центром в точке $B$. Пусть $\angle HBP = \alpha$. Тогда $\angle HKP = \alpha/2$, $\angle HEP$ = $2\angle HKP = \alpha$. Точки $H$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $BC$, а так как $\angle HEP$ = $\angle HBP$, то точка $E $ также принадлежит этой окружности.Следовательно, $\angle BEC$ = $90^\circ$, то есть $CE$ – высота треугольника $ABC$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.