Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 9 класс

Задача №1. Решить уравнение

$x^2-y^2-x+y=10$ в натуральных числах.
комментарий/решение(6)

Задача №2. Окружность касается стороны

$BC$ треугольника

$ABC$ и продолжении сторон

$AB$ и

$AC$ . Докажите, что расстояние от вершины

$A$ до точки касания окружности с прямой

$AB$ равно полупериметру треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Сколькими способами можно представить натуральное число

$n$ в виде

$k$ натуральных слагаемых (представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными)?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Рассмотрим функции

$f(x)=|x-1|-|x-2|$ и

$g(x)=|x-3|$ .
a) Нарисуйте график функции

$f(x)$
b) Определите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

$f(x)$ и

$g(x)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть точки

$K$ и

$P$ симметричны основанию

$H$ высоты

$BH$ треугольника

$ABC$ относительно его сторон

$AB$ и

$BC$ соответственно. Докажите, что точки пересечения отрезка

$KP$ со сторонами

$AB$ и

$BC$ (или их продолжениями) — основания высот треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В зале находятся

$n>2$ человек. Доказать, что среди них найдутся 2 человека с одинаковым количеством знакомых.
комментарий/решение(2)