Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

$H$ — $ABC$ үшбұрышының $BH$ биіктігінің табаны. $K$ және $P$ нүктелері $H$ нүктесіне сәйкесінше $AB$ және $BC$ қабырғаларына қарағанда симметриялы. $KP$ кесіндісінің $AB$ және $BC$ қабырғаларымен (немесе олардың созындыларымен) қиылысу нүктелері — $ABC$ үшбұрышының биіктігінің табаны болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $E$– точка пересечения $KP$ и $AB.$Точки $K$, $H$ и $P$ лежат на окружности с центром в точке $B$. Пусть  $\angle HBP = \alpha$.  Тогда  $\angle HKP = \alpha/2$,  $\angle HEP$ = $2\angle HKP = \alpha$. Точки $H$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $BC$, а так как  $\angle HEP$ = $\angle HBP$, то точка $E$ также принадлежит этой окружности.Следовательно,  $\angle BEC$ = $90^\circ$,  то есть $CE$ – высота треугольника $ABC$.