Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто

Есеп №1.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ және

$D$ — бір түзудің бойында, көрсетілген ретпен орналасқан нүктелер. Диаметрлері

$AC$ және

$BD$ болатын шеңберлер

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қиылысады.

$XY$ және

$BC$ түзулері

$Z$ нүктесінде қиылысады.

$XY$ түзуінде

$Z$ нүктесінен өзге

$P$ нүктесі берілсін.

$CP$ түзуі диаметрі

$AC$ болатын шеңберді

$C$ және

$M$ нүктелерінде, ал

$BP$ түзуі диаметрі

$BD$ болатын шеңберді

$B$ және

$N$ нүктелерінде қисын.

$AM$ ,

$DN$ және

$XY$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$abc=1$ болатындай

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — оң сандары берілсін. Дәлелдеңіздер:

$\dfrac{1}{{{a}^{3}}\left( b+c \right)}+\dfrac{1}{{{b}^{3}}\left( c+a \right)}+\dfrac{1}{{{c}^{3}}\left( a+b \right)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(6)

Есеп №3. Келесі шарттар орындалып, жазықтықта

${{A}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{A}_{n}}$ —

$n$ нүктелері және

${{r}_{1}}$ ,

${{r}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{r}_{n}}$ нақты сандары табылатындай

$n > 3$ барлық бүтін сандарын табыңыздар:
а)

${{A}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{A}_{n}}$ нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген

$i,j,k$ (

$1\le i < j < k\le n$ ) үштігі үшін

${{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}}$ үшбұрышының ауданы

${{r}_{i}}+{{r}_{j}}+{{r}_{k}}$ шамасына тең.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келесі шарттар орындалып,

${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{1995}}$ оң сандар тізбегі табылатындай

${{x}_{0}}$ ең үлкен мәнін табыңыздар:
а)

${{x}_{0}}={{x}_{1995}}$ ;
б)

${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}}$ барлық

$i=1,2,\ldots ,1995$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$AB=BC=CD$ ,

$DE=EF=FA$ и

$\angle BCD=\angle EFA=60{}^\circ$ болатындай

$ABCDEF$ дөңес алтыбұрыш берілсін.

$G$ және

$H$ — нүктелері

$\angle AGB=\angle DHE=120{}^\circ$ орындалатындай алтыбұрыш ішіндегі нүктелер болсын.

$AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$p$ — тақ жай сан болсын. Келесі шарттар орындалатындай

$\{1,2,\ldots ,2p\}$ жиынының

$A$ ішкі жиындар санын табыңдар:
а)

$A$ ішкі жиыннның дәл

$p$ элементі бар;
б)

$A$ ішкі жиынының барлық элементтерінің қосындысы

$p$ -- ға бөлінеді .
комментарий/решение(1)

результаты