36-я Международная Математическая Oлимпиада
Канада, Торонто, 1995 год
Пусть A, B, C и D — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами AC и BD пересекаются в точках X и Y. Прямые XY и BC пересекаются в точке Z. Пусть P — точка на прямой XY, отличная от Z. Прямая CP пересекает окружность с диаметром AC в точках C и M, а прямая BP пересекает окружность с диаметром BD в точках B и N. Доказать, что прямые AM, DN и XY пересекаются в одной точке.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Удивлён что никто ещё не расписал такую легкую задачу.
Пусть AM∩DN=K
Из за того что XY радикальный ось двух окружностей, нужно доказать что точка K лежит но радикальной оси. K лежит на радикальной оси только тогда KM⋅KA=KN⋅KD. Значит нужно доказать что AMND вписанный.
P лежит Радикальной оси значит MBCN вписанный ещё ∠AMC=∠BND=90⇒∠NBC=∠CMN=α,∠ADN=90−α,∠AMN=90+α,∠ADN+∠AMN=180⇒AMND вписанный и ч.т.д
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.