Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто

$A$, $B$, $C$ және $D$ — бір түзудің бойында, көрсетілген ретпен орналасқан нүктелер. Диаметрлері $AC$ және $BD$ болатын шеңберлер $X$ және $Y$ нүктелерінде қиылысады. $XY$ және $BC$ түзулері $Z$ нүктесінде қиылысады. $XY$ түзуінде $Z$ нүктесінен өзге $P$ нүктесі берілсін. $CP$ түзуі диаметрі $AC$ болатын шеңберді $C$ және $M$ нүктелерінде, ал $BP$ түзуі диаметрі $BD$ болатын шеңберді $B$ және $N$ нүктелерінде қисын. $AM$, $DN$ және $XY$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Удивлён что никто ещё не расписал такую легкую задачу.

Пусть $AM \cap DN=K$

Из за того что $XY$ радикальный ось двух окружностей, нужно доказать что точка $K$ лежит но радикальной оси. $K$ лежит на радикальной оси только тогда $KM\cdot KA=KN \cdot KD$. Значит нужно доказать что $AMND$ вписанный.

$P$ лежит Радикальной оси значит $MBCN$ вписанный ещё $\angle AMC=\angle BND=90 \Rightarrow \angle NBC=\angle CMN=\alpha, \angle ADN=90-\alpha, \angle AMN=90+\alpha, \angle ADN+\angle AMN=180 \Rightarrow AMND$ вписанный и ч.т.д

Блин, я его час не могу решить а оказалось что она такая лёгкая. Спасибо дорогой Ерасыл что бы я без вас делал