Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2012 год

Задача №1. Среди всевозможных четырехзначных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 3, при делении на 23 остаток 11 и при делении на 35 остаток 17, найдите число с наименьшей суммой цифр.
комментарий/решение

Задача №2. Пять путешественников, каждый с тремя чемоданами, хотят переправиться через реку. Есть пятиместная лодка, каждое место в которой может быть занято человеком или чемоданом. Никто из путешественников не доверит свой чемодан спутникам в свое отсутствие, но готов оставить чемоданы на безлюдном берегу. Смогут ли они переправиться через реку?
комментарий/решение

Задача №3. Дан квадрат

$3\times 3$ , разбитый на девять единичных квадратов. Некоторая ломаная пересекает все стороны единичных квадратов. Может ли такая ломаная содержать меньше 10 звеньев?
комментарий/решение

Задача №4. Существуют ли положительные числа

$x,y,z,t$ , удовлетворяющие равенствам

$3{{x}^{3}}+5{{y}^{5}}+7{{y}^{7}}={{t}^{9}}$ ,

$\dfrac{3}{{{x}^{3}}}+\dfrac{5}{{{y}^{5}}}+\dfrac{7}{{{z}^{7}}}=\dfrac{1}{{{t}^{9}}}$ .
комментарий/решение

Задача №5. В компьютерной игре каждый солдат характеризуется тремя показателями: уровнем силы, уровнем интеллекта, уровнем магии. В начале игры Данияр выбрал себе солдата. Играя по интернету, он иногда получал запросы на обмен солдатами. Однако Данияр согласен поменяться солдатом только при условии, что у нового солдата хотя бы два показателя из трех будут больше чем у отданного. Может ли после нескольких обменов у него оказаться солдат с меньшим уровнем по каждому из показателей, чем в начале?
комментарий/решение

Задача №6. Два мальчика играли в кубики. На каждом кубике написано двухзначное число. Из этих кубиков они собирали шестизначное число. Однажды они собрали число, которое делилось на 17. Каким могло быть это шестизначное число?
комментарий/решение

Задача №7. Можно ли число 2012 представить в виде суммы квадратов трех целых чисел?
комментарий/решение(4)

Задача №8. В остроугольном треугольнике

$ABC$ на сторонах

$AB$ ,

$BC$ и

$CA$ отмечены точки

$P$ ,

$Q$ и

$R$ соответственно, так что

$BP=PQ=QR=RC$ . Вырежем треугольники

$BPQ$ ,

$PQR$ ,

$QRC$ и выстроим их последовательно так, чтобы основания лежали на одной прямой, причем второй треугольник при этом перевернем, чтобы его вершина

$Q$ также смотрела вверх. Докажите, что вершины этих трех равнобедренных треугольников лежат на одной прямой.
комментарий/решение