Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2012 год

Задача №1. Среди всевозможных четырехзначных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 3, при делении на 23 остаток 11 и при делении на 35 остаток 17, найдите число с наименьшей суммой цифр.
комментарий/решение

Задача №2. Пять путешественников, каждый с тремя чемоданами, хотят переправиться через реку. Есть пятиместная лодка, каждое место в которой может быть занято человеком или чемоданом. Никто из путешественников не доверит свой чемодан спутникам в свое отсутствие, но готов оставить чемоданы на безлюдном берегу. Смогут ли они переправиться через реку?
комментарий/решение

Задача №3. Дан квадрат $3\times 3$, разбитый на девять единичных квадратов. Некоторая ломаная пересекает все стороны единичных квадратов. Может ли такая ломаная содержать меньше 10 звеньев?
комментарий/решение

Задача №4. Существуют ли положительные числа $x,y,z,t$, удовлетворяющие равенствам $3{{x}^{3}}+5{{y}^{5}}+7{{y}^{7}}={{t}^{9}}$, $\dfrac{3}{{{x}^{3}}}+\dfrac{5}{{{y}^{5}}}+\dfrac{7}{{{z}^{7}}}=\dfrac{1}{{{t}^{9}}}$.
комментарий/решение

Задача №5. В компьютерной игре каждый солдат характеризуется тремя показателями: уровнем силы, уровнем интеллекта, уровнем магии. В начале игры Данияр выбрал себе солдата. Играя по интернету, он иногда получал запросы на обмен солдатами. Однако Данияр согласен поменяться солдатом только при условии, что у нового солдата хотя бы два показателя из трех будут больше чем у отданного. Может ли после нескольких обменов у него оказаться солдат с меньшим уровнем по каждому из показателей, чем в начале?
комментарий/решение

Задача №6. Два мальчика играли в кубики. На каждом кубике написано двухзначное число. Из этих кубиков они собирали шестизначное число. Однажды они собрали число, которое делилось на 17. Каким могло быть это шестизначное число?
комментарий/решение

Задача №7. Можно ли число 2012 представить в виде суммы квадратов трех целых чисел?
комментарий/решение(4)

Задача №8. В остроугольном треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ отмечены точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно, так что $BP=PQ=QR=RC$. Вырежем треугольники $BPQ$, $PQR$, $QRC$ и выстроим их последовательно так, чтобы основания лежали на одной прямой, причем второй треугольник при этом перевернем, чтобы его вершина $Q$ также смотрела вверх. Докажите, что вершины этих трех равнобедренных треугольников лежат на одной прямой.
комментарий/решение