Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2011 год

Задача №1. Докажите, что значение выражения

$\dfrac{36}{5\cdot 7}-\dfrac{1}{5\cdot 6\cdot 7}-\dfrac{1}{6\cdot 7\cdot 8}-\dfrac{1}{6\cdot 8}$ является целым числом.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите некоторые три решения в натуральных числах уравнения

${{x}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}={{y}^{2}}$ .
комментарий/решение

Задача №3. Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.
комментарий/решение

Задача №4. Три стрелка — Максат, Назар и Жалгас — сделали по шесть выстрелов по одной мишени и выбили поровну очков. Известно, что Максат за первые три выстрела выбил 43 очка, а Назар первым выстрелом выбил 3 очка. Сколько очков выбили на каждом выстреле стрелки, если в 50 было одно попадание, в 25 — два, в 20 — три, в 10 — три, в 5 — два, в 3 — два, в 2 — два, в 1 — три?
комментарий/решение

Задача №5. Король хочет выстроить 6 крепостей и соединить любые две из них прямолинейной дорогой. Нарисуйте такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было три перекрестка и на любом из них пересекались две дороги.
комментарий/решение

Задача №6. Представьте число

$1000009={{235}^{2}}+{{972}^{2}}$ в виде произведения двух натуральных чисел, отличных от 1.
комментарий/решение

Задача №7.

$O$ — центр равностороннего треугольника

$ABC$ . Найдите множество точек

$X$ таких, что любая прямая, проходящая через

$X$ , пересекает отрезок

$AB$ или

$OC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №8. На столе лежат 35 кучек орехов. Разрешается добавлять по одному ореху к любым 23 кучкам. Докажите, что повторяя эту операцию, можно уравнять все кучки.
комментарий/решение(1)