Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2011 год

$O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Найдите множество точек $X$ таких, что любая прямая, проходящая через $X$, пересекает отрезок $AB$ или $OC$.

Комментарий/решение

Ответ: ГМТ точек $X$ будет пространство между прямыми $AD$ и $BE$, где $AD||OC||BE$

Обоснование : чтобы две прямые не пересеклись, нужно чтобы они были параллельными. Если точка $X$ находится между $AD$ и $BE$, то прямая , проходящая через точку $X$ пересечет или 2 прямые сразу , или отрезок $AB$ ( в случае параллельности с $OC$), или же $OC$. Если же $X$ находится вне указанного ГМТ, то можно построить прямую, проходящую через $X$, не пересекающую $OC$, и при этом не пересекающую отрезок $AB$

Из данного пространства легко можно найти точку, не удовлетворяющую условию задачи.