Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2011 год

$O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Найдите множество точек $X$ таких, что любая прямая, проходящая через $X$, пересекает отрезок $AB$ или $OC$.

Комментарий/решение

Ответ: ГМТ точек $X $ будет пространство между прямыми $AD $ и $BE $, где $AD||OC||BE $

Обоснование : чтобы две прямые не пересеклись, нужно чтобы они были параллельными. Если точка $X $ находится между $AD $ и $BE $, то прямая , проходящая через точку $X $ пересечет или 2 прямые сразу , или отрезок $AB $ ( в случае параллельности с $ OC $), или же $OC $. Если же $X $ находится вне указанного ГМТ, то можно построить прямую, проходящую через $X $, не пересекающую $OC $, и при этом не пересекающую отрезок $AB $

Из данного пространства легко можно найти точку, не удовлетворяющую условию задачи.