Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2004 жыл

Есеп №1. ${{2}^{32}}+{{2}^{16}}+1$ санын әрқайсысы 30000-нан үлкен екі көбейткіштерге жіктеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Бір шебер ұзын лентаны әрбір 36 см сайын көк қарандашпен белгілейді. Басқа бір шебер белгіні қызыл қарандашпен әрбір 25 см сайын қояды. Көк белгі мен қандай да бір қызыл белгінің арасындағы қашықтық 1 см болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

---

Есеп №3. Теңсіздікті дәлелдеңдер $2{{a}^{2}}+5b\ge 6a\sqrt{b}$, мұндағы $b\ge 0$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Тақтада $\ *\ {{x}^{2}}+ \ * \ x+*=0$ теңдеуі жазылған. Екі ойыншының біріншісі кез келген үш санды атайды, екінші ойынша оларды жұлдызшалар орнына өз қалауынша қояды. Нәтижесінде теңдеудің әр түрлі рационал түбірлері болса, онда бірінші ойыншы жеңеді. Осы ойында кім жеңеді — бірінші әлде екінші ойыншы?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $ABC$ тікбұрышты үшбұрышының $AB$ және $BC$ катеттерінен ($2BC > AB > BC$) $D$ және $E$ нүктелері алынған және $AD=CB$, $BD=CE$. $AE$ және $CD$ кесінділерінің арасындағы бұрышы $45{}^\circ $-қа тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №6. Қабырғасы 4 см-ге тең квадратты периметрлерінің қосындысы 25 см-ге тең болатындай тік төртбұрыштарға қалай қию керек?
комментарий/решение

---

Есеп №7. Автобус билетінің нөмірі алты цифрдан тұрады (алғашқы цифрлары ноль болуы мүмкін). Билет бақытты деп саналады, егер алғашқы үш цифрдың қосындысы соңғы үш цифрдың қосындысына тең болса. Барлық бақытты билеттердің нөмірлерінің қосындысы 13-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №8. $A,B,C,D$ нүктелері берілген төртбұрыштың қабырғаларының, ал $P$ және $Q$ — диагональдарының орталары. $\triangle BCP=\triangle ADQ$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №9. $1\times 10000$ шаршылы тақтада екі ойыншы кезектесіп жүреді. Бірінші ойыншы әр жүрісінде тақтаға кез келген бос екі шаршыға крест қоя алады. Екіншісі — арасында бос шаршы жоқ қатар тұрған кресттердің бәрін өшіре алады. Егер бірінші ойыншының жүрісінен кейін тақтада 13 немесе одан көп қатар тұрған кресттер пайда болса, онда ол жеңеді. Екі ойыншы да дұрыс ойнаса, бірінші ойыншы әрқашан жеңісіне жете ала ма?
комментарий/решение

---

Есеп №10. Инженер күн сайын вокзалға сағат 8-де келді. Тура 8-де оны машина күтіп алып заводқа алып барады. Бір күні инженер вокзалға сағат 7-де келіп, машинаны күтпей, оған қарсы жүріп кетті. Жолда машинаны кездестіріп, машинамен заводқа күндегіден 20 минутқа ерте келді. Инженер мен машинаның кездескен уақытын анықтаңдар.
комментарий/решение

---