Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2004 год

Докажите неравенство $2{{a}^{2}}+5b\ge 6a\sqrt{b}$, где $b\ge 0$.

Комментарий/решение

$$1)2а^2+5b\geq 2\sqrt{10b}|a|\geq 6a\sqrt{b}$$

$$2)2a^2-6a\sqrt{b}+5b\geq0 \Rightarrow D=36b-40b=-4b\Rightarrow D<O$$

$2a^2 - 6a\sqrt{b} + 5b \geq 0$

$a^2 - 2a\sqrt{b} + b + a^2 - 4a\sqrt{b} + 4b \geq 0$

$(a-\sqrt{b})^2 + (a-2\sqrt{b})^2 \geq 0$

Очевидно, что если a отрицательно или равно нулю, неравенство выполняется. Следовательно, если a больше нуля: $2a^2+5b=a^2+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+b+2b+2b \geq 6\sqrt[6]{a^2*\frac{a^2}{2}*\frac{a^2}{2}*b*2b*2b}=6a\sqrt{b}$