Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2004 год

Задача №1. Разложите число ${{2}^{32}}+{{2}^{16}}+1$ на два сомножителя большие 30000.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Один мастер делает на длинной ленте пометки синим карандашом от ее начала через каждые 36 см. Другой мастер делает пометки красным карандашом от начала через 25 см. Может ли синяя пометка отказаться на расстоянии 1 см от какой-нибудь красной?
комментарий/решение

Задача №3. Докажите неравенство $2{{a}^{2}}+5b\ge 6a\sqrt{b}$, где $b\ge 0$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. На доске написано уравнение $*{{x}^{2}}+*x+*=0$. Первый из двух игроков называет любые три числа, второй игрок расставляет их по своему усмотрению вместо звездочек. Выигрывает первый игрок, если уравнение имеет различные рациональные корни. Кто побеждает в данной игре — первый или второй игрок?
комментарий/решение(1)

Задача №5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катетах $AB$ и $BC$ ($2BC > AB > BC$) взяты точки $D$ и $E$ так, что$AD=CB$, $BD=CE$. Докажите, что угол между отрезками $AE$ и $CD$ равен $45{}^\circ $.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Как разрезать квадрат со стороной 4 см на прямоугольники, сумма периметров которых равна 25 см?
комментарий/решение

Задача №7. Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
комментарий/решение

Задача №8. Дан четырехугольник. $A,B,C,D$ — последовательные середины его сторон. $P,Q$ — середины диагоналей. Докажите, что $\vartriangle BCP=\vartriangle ADQ$.
комментарий/решение

Задача №9. На клетчатой доске $1\times 10000$ двое играющих ходят по очереди. Первый может за ход выставить два крестика в любые два свободных поля доски. Второй может стереть любое количество крестиков, идущих подряд — без пустых клеток между ними. Если после хода первого игрока образуется 13 или более крестиков подряд, он выиграл. Может ли первый выиграть при правильной игре обеих сторон?
комментарий/решение

Задача №10. Инженер ежедневно приезжает на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов утра за ним приезжает машина с завода 20 и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов утра и пошел навстречу машине. Встретив машину, он сел в нее и приехал на завод на 20 минут раньше, чем обычно. Определить показание часов в момент встречи инженера с машиной.
комментарий/решение