Қалалық Жәутіков олимпиадасы
10-11 сыныптар, 2003 жыл

Есеп №1.  Теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңдер: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} + ... + {x_{2003}} = 2003, \hfill \\ x_1^4 + x_2^4 + ... + x_{2003}^4 = x_1^3 + x_2^3 + ... + x_{2003}^3. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABCD$ ромбысының $B$ төбесіндегі бұрышы $60{}^\circ $-қа тең. $\triangle ADC$ ішінен $\angle AMC=120{}^\circ $ орындалатындай $M$ нүктесі алынған. $BA$ мен $CM$, $BC$ мен $AM$ қиылысу нүктелерін сәйкесінше $P$ және $Q$ делік. $D$ нүктесі $PQ$ түзуінде жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. ${{x}^{2}}={{y}^{3}}+7$ теңдеуінің бүтін шешімдері болмайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)

---

Есеп №4.  Хоккейден өткізілген жарыста $N$ команда қатысты. Кез келген екі команда өзара тек бір рет қана ойнады (жеңіс үшін 2 ұпай, теңбе-тең — 1 ұпай, жеңіліс — 0 ұпай). Кез келген үш команда ішінде ешқандай екеуі осы үшеуі арасындағы ойындарда бірдей ұпай жинаған жоқ. Ең көп дегенде теңбе-тең болған ойындар санын табыңдар.
комментарий/решение

---