Городская Жаутыковская олимпиада, 10-11 классы, 2003 год
Комментарий/решение:
Админ, обратите внимание, функция загрузки рисунков не работает!
Счет углов пропущен, чтоб не загромождать решение
0)Базовые школьные факты о ромбе
Ромб по определению имеет все 4 равные стороны
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам
Диагонали ромба являются биссектрисами соответствующих углов
1)Счетом углов
∠ABC=∠ACB=∠CAB=∠DAC=∠ACD=∠CDA=60∘
2)Пусть BD∩AC=O. Введем прямоугольную декартову систему координат xOy, где Ox∥→OC и Oy∥→OB. Это возможно в силу BD⊥AC
3)AB=BC=CD=DA=AC=L
4)Пусть ∠MAC=x. Тогда ∠AMC=120∘ и ∠MCA=60∘−x
5)Теорема синусов для ΔPAC
APsin∠MCA=ACsin∠APC⇒AP=L⋅sin(60∘−x)sin(x)
6)Теорема синусов для ΔACQ
CQsin∠MAC=ACsin∠CQA⇒AC=L⋅sin(x)sin(60∘−x)
7)Вычисление координат точек P,Q,D
Пусть sin(60∘−x)sin(x)=w
XP=−AO−APcos60∘=−L2⋅(1+sin(60∘−x)sin(x))=−L2(1+w)
YP=−APsin60∘=−L√32⋅sin(60∘−x)sin(x)=−Lw√32
XQ=OC+CQcos60∘=L2⋅(1+sin(x)sin(60∘−x))=L2(1+1w)
YQ=−CQsin60∘=−L√32sin(x)sin(60∘−x)=−L√32w
XD=0;YD=−ADsin60∘=−L√32
8)Если →DP×→DQ=0, то угол PDQ-развернутый, что говорит о том, что P,Q,D лежат на одной прямой
9)Рассчитаем вектора →DP и →DQ
→DP=(−L2(1+w);L√32(1−w))
→DQ=(−L2(1+1w);L√32(1−1w))
10)Расчет векторного произведения
→DP×→DQ=| →i→j→k−L2(1+w)L√32(1−w)0−L2(1+1w)L√32(1−1w)0|
→DP×→DQ=→k⋅L2√34⋅(−(1+w)⋅(1−1w)−(−(1+1w)⋅(1−w)))=0
Утверждение задачи доказано
Из условия выходит что AMBC вписанный, тогда отметим что ∠APC=∠CAM, ∠CQA=∠ACM , то есть AC касательная к окружностям описанных около AMP, CQM, тогда AC2=CM⋅CP=AM⋅AQ рассмотрим инверсию точки P относительно окружности с радиусом AC то есть AP⋅AP′=AC2=AD2=AM⋅AQ тогда ∠AP′Q=∠AMP=60∘ или QP′||AC и AD касательная к окр описанной около P′PD или ∠ADP′+∠ADC=∠APD+∠PAD=∠180∘−∠ADP тогда проведем PQ′||AC, Q′∈BC тогда CQ′⋅CQ=AC2=CD2 аналогично CD касательная к Q′DQ из-за симметричности ∠ADP=∠AP′D=∠CQD=∠CDQ то есть P′,D,Q лежат на одной прямой, значит P,D,Q лежат на одной прямой
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.