Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 10-11 классы, 2003 год


В ромбе ABCD угол при вершине B равен 60. Внутри ΔADC выбрана точка M таким образом, что AMC=120. Пусть P и Q являются точками пересечения прямых BA и CM, BC и AM, соответственно. Докажите, что точка D лежит на прямой PQ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
1 года 9 месяца назад #

Админ, обратите внимание, функция загрузки рисунков не работает!

Счет углов пропущен, чтоб не загромождать решение

0)Базовые школьные факты о ромбе

Ромб по определению имеет все 4 равные стороны

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам

Диагонали ромба являются биссектрисами соответствующих углов

1)Счетом углов

ABC=ACB=CAB=DAC=ACD=CDA=60

2)Пусть BDAC=O. Введем прямоугольную декартову систему координат xOy, где OxOC и OyOB. Это возможно в силу BDAC

3)AB=BC=CD=DA=AC=L

4)Пусть MAC=x. Тогда AMC=120 и MCA=60x

5)Теорема синусов для ΔPAC

APsinMCA=ACsinAPCAP=Lsin(60x)sin(x)

6)Теорема синусов для ΔACQ

CQsinMAC=ACsinCQAAC=Lsin(x)sin(60x)

7)Вычисление координат точек P,Q,D

Пусть sin(60x)sin(x)=w

XP=AOAPcos60=L2(1+sin(60x)sin(x))=L2(1+w)

YP=APsin60=L32sin(60x)sin(x)=Lw32

XQ=OC+CQcos60=L2(1+sin(x)sin(60x))=L2(1+1w)

YQ=CQsin60=L32sin(x)sin(60x)=L32w

XD=0;YD=ADsin60=L32

8)Если DP×DQ=0, то угол PDQ-развернутый, что говорит о том, что P,Q,D лежат на одной прямой

9)Рассчитаем вектора DP и DQ

DP=(L2(1+w);L32(1w))

DQ=(L2(1+1w);L32(11w))

10)Расчет векторного произведения

DP×DQ=| ijkL2(1+w)L32(1w)0L2(1+1w)L32(11w)0|

DP×DQ=kL234((1+w)(11w)((1+1w)(1w)))=0

Утверждение задачи доказано

  1
1 года 8 месяца назад #

Из условия выходит что AMBC вписанный, тогда отметим что APC=CAM, CQA=ACM , то есть AC касательная к окружностям описанных около AMP, CQM, тогда AC2=CMCP=AMAQ рассмотрим инверсию точки P относительно окружности с радиусом AC то есть APAP=AC2=AD2=AMAQ тогда APQ=AMP=60 или QP||AC и AD касательная к окр описанной около PPD или ADP+ADC=APD+PAD=180ADP тогда проведем PQ||AC, QBC тогда CQCQ=AC2=CD2 аналогично CD касательная к QDQ из-за симметричности ADP=APD=CQD=CDQ то есть P,D,Q лежат на одной прямой, значит P,D,Q лежат на одной прямой

  0
1 года 7 месяца назад #

Углы APC и САМ не равны в общем случае