Городская Жаутыковская олимпиада, 10-11 классы, 2003 год

Задача №1. Решите систему уравнений в действительных числах

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} + ... + {x_{2003}} = 2003, \\ x_1^4 + x_2^4 + ... + x_{2003}^4 = x_1^3 + x_2^3 + ... + x_{2003}^3. \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. В ромбе

$ABCD$ угол при вершине

$B$ равен

$60{}^\circ$ . Внутри

$\Delta ADC$ выбрана точка

$M$ таким образом, что

$\angle AMC=120{}^\circ$ . Пусть

$P$ и

$Q$ являются точками пересечения прямых

$BA$ и

$CM$ ,

$BC$ и

$AM$ , соответственно. Докажите, что точка

$D$ лежит на прямой

$PQ$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Докажите, что уравнение

${{y}^{2}}={{x}^{3}}+7$ не имеет целых корней.
комментарий/решение(4)

Задача №4. В хоккейном турнире участвовало

$N$ команд. Любые две команды сыграли между собой в точности один раз. (За выигрыш присуждается 2 очка, ничью 1 — очко, проигрыш — 0 очков). Известно, что для любых трех команд никакие две из них не набрали одинаковое количество очков в играх между этими тремя командами. Найдите наибольшее возможное количество ничейных результатов в данном турнире.
комментарий/решение