Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2002 жыл

Есеп №1. $ad-bc=1$ болса, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+ac+bd\ge \sqrt{3}$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №2. 1, 2, 3, $\ldots $ натурал қатары бірнеше арифметикалық прогрессияларға бөлінген. Осы прогрессияның ең болмағанда біреуінің бірінші мүшесі оның айырмасына бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $A$ және $B$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $P$ нүктесінде қиылысады. $PC$ түзуі $AB$ қабырғасын $K$ нүктелесінде қиып өтеді. $AB$ қабырғасы $K$ нүктесімен $A{{C}^{2}}:B{{C}^{2}}$ қатынасындай бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $19\times 19$ клеткалы тақтаның 95 клеткасы боялған. Көп дегенде 3 клеткасы боялған $3\times 5$ тіктөртбұрыштың табылатынын дәлелде. Кез келген $3\times 5$ тіктөртбұрышының кем дегенде 4 клеткасы боялатындай тақтаның 96 клеткасын бояуға болатынын көрсетіңдер.
комментарий/решение

---