Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2002 год

Касательные к окружности описанной вокруг треугольника $ABC$, проведенные в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$, делящей ее в отношении $A{{C}^{2}}:B{{C}^{2}}$.

Комментарий/решение

Площади треугольников $ \dfrac{S_{APC}}{S_{PBC}} = \dfrac{AC \cdot AP \cdot sin \angle ABC}{BC \cdot AP \cdot sin \angle BAC } $ , так как $\angle PAC = \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC + \angle BAC $ так же и другой угол. Но с другой стороны , площади треугольников

$S_{AKC} = \dfrac{AK \cdot h}{2}$ , $S_{BKC} = \dfrac{BK \cdot h}{2}$ , $S_{APK} = \dfrac{AK \cdot H}{2}$, $S_{PBK} = \dfrac{BK \cdot H}{2}$ .

То есть $\dfrac{S_{APC}}{S_{PBC}} = \dfrac{AK}{BK}$ от куда получаем $\dfrac{AK}{BK} = \dfrac{AC \cdot sin \angle ABC}{BC \cdot sin \angle BAC} = \dfrac{AC}{BC} \cdot \dfrac{AC}{BC } = \dfrac{AC^2}{BC^2}$