1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Городские олимпиады
  4. Городская Жаутыковская олимпиада
  5. 2-я олимпиада (2002 год)
  6. 9 класс

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2002 год


Задача №1.  Докажите, что если $ad-bc=1$, то ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+ac+bd\ge \sqrt{3}.$
комментарий/решение
Задача №2.  Натуральный ряд 1, 2, 3, $\ldots $ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на ее разность.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Касательные к окружности описанной вокруг треугольника $ABC$, проведенные в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$, делящей ее в отношении $A{{C}^{2}}:B{{C}^{2}}$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  В клетчатом квадрате $19\times 19$ закрашено 95 клеток. Докажите, что найдется прямоугольник $3\times 5$, в котором закрашено не более трех клеток. Покажите, что можно так закрасить 96 клеток, что в каждом прямоугольнике $3\times 5$ будет закрашено не менее четырех клеток.
комментарий/решение