Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2002 год

Задача №1. Докажите, что если

$ad-bc=1$ , то

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+ac+bd\ge \sqrt{3}.$
комментарий/решение

Задача №2. Натуральный ряд 1, 2, 3,

$\ldots$ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на ее разность.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Касательные к окружности описанной вокруг треугольника

$ABC$ , проведенные в точках

$A$ и

$B$ , пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что прямая

$PC$ пересекает сторону

$AB$ в точке

$K$ , делящей ее в отношении

$A{{C}^{2}}:B{{C}^{2}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В клетчатом квадрате

$19\times 19$ закрашено 95 клеток. Докажите, что найдется прямоугольник

$3\times 5$ , в котором закрашено не более трех клеток. Покажите, что можно так закрасить 96 клеток, что в каждом прямоугольнике

$3\times 5$ будет закрашено не менее четырех клеток.
комментарий/решение