Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2002 жыл

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $A$ және $B$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $P$ нүктесінде қиылысады. $PC$ түзуі $AB$ қабырғасын $K$ нүктелесінде қиып өтеді. $AB$ қабырғасы $K$ нүктесімен $A{{C}^{2}}:B{{C}^{2}}$ қатынасындай бөлінетінін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Площади треугольников $\dfrac{S_{APC}}{S_{PBC}} = \dfrac{AC \cdot AP \cdot sin \angle ABC}{BC \cdot AP \cdot sin \angle BAC }$ , так как $\angle PAC = \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC + \angle BAC$ так же и другой угол. Но с другой стороны , площади треугольников

$S_{AKC} = \dfrac{AK \cdot h}{2}$ , $S_{BKC} = \dfrac{BK \cdot h}{2}$ , $S_{APK} = \dfrac{AK \cdot H}{2}$, $S_{PBK} = \dfrac{BK \cdot H}{2}$ .

То есть $\dfrac{S_{APC}}{S_{PBC}} = \dfrac{AK}{BK}$ от куда получаем $\dfrac{AK}{BK} = \dfrac{AC \cdot sin \angle ABC}{BC \cdot sin \angle BAC} = \dfrac{AC}{BC} \cdot \dfrac{AC}{BC } = \dfrac{AC^2}{BC^2}$