қазақша
русскийМатематикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2013 жыл
Есеп №1. $r > 0$ бүтін саны және $0,\!{{a}_{1}}{{a}_{2}}\ldots {{a}_{r}}({{b}_{1}}{{b}_{2}}\ldots {{b}_{s}})=\frac{m}{n}$ түріндегі шексіз периодты ондық бөлшек берілген, бұл жерде $m,n$ — натурал сандар. $n$ санының 2-ге немесе 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Әрқайсысы 1-ден үлкен болатын $x$, $y$ және $z$ сандары үшін $\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}-1}=1$ теңдігі орындалады. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\le 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $(\angle B\ne 90{}^\circ )$ $A{{A}_{1}}$ биіктігінен $A$ және ${{A}_{1}}$ нүктелерімен беттеспейтін $F$ нүктесі алынған. $BF$ және $CF$ түзулері сәйкесінше $AC$ және $AB$ түзулерімен ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерінде қиылысады. $B$ және $F$ нүктелерінен ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ және ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулеріне сәйкесінше $BP$, $BQ$, $FS$, $FR$ перпендикулярлары түсірілген. $PQ$, $SR$ және $B{{B}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысанынын дәлелдеңіздер.
а) Есепті $F$ — $ABC$-ның биіктіктер қиылысу нүктесі боған жағдай үшін шығарыңыздар.
б) Есепті кез келген $F$ нүктесі үшін шығарыңыздар.
комментарий/решение(1)
а) Есепті $F$ — $ABC$-ның биіктіктер қиылысу нүктесі боған жағдай үшін шығарыңыздар.
б) Есепті кез келген $F$ нүктесі үшін шығарыңыздар.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Тіктөртбұрышты төр 4 көлденеңнен және 7 тігінен орналасқан сызықтардан тұрады. Тордың бірнеше түйіндері боялған, және олардың саны 14-ке тең. Қабырғалары сызықтарға параллель болатын, төрт төбесі де боялған тіктөртбұрыштың табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)