Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2013 жыл

Есеп №1.

$r > 0$ бүтін саны және

$0,\!{{a}_{1}}{{a}_{2}}\ldots {{a}_{r}}({{b}_{1}}{{b}_{2}}\ldots {{b}_{s}})=\frac{m}{n}$ түріндегі шексіз периодты ондық бөлшек берілген, бұл жерде

$m,n$ — натурал сандар.

$n$ санының 2-ге немесе 5-ке бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Әрқайсысы 1-ден үлкен болатын

$x$ ,

$y$ және

$z$ сандары үшін

$\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}-1}=1$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\le 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$(\angle B\ne 90{}^\circ )$

$A{{A}_{1}}$ биіктігінен

$A$ және

${{A}_{1}}$ нүктелерімен беттеспейтін

$F$ нүктесі алынған.

$BF$ және

$CF$ түзулері сәйкесінше

$AC$ және

$AB$ түзулерімен

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелерінде қиылысады.

$B$ және

$F$ нүктелерінен

${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ және

${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулеріне сәйкесінше

$BP$ ,

$BQ$ ,

$FS$ ,

$FR$ перпендикулярлары түсірілген.

$PQ$ ,

$SR$ және

$B{{B}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысанынын дәлелдеңіздер.
а) Есепті

$F$ —

$ABC$ -ның биіктіктер қиылысу нүктесі боған жағдай үшін шығарыңыздар.
б) Есепті кез келген

$F$ нүктесі үшін шығарыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Тіктөртбұрышты төр 4 көлденеңнен және 7 тігінен орналасқан сызықтардан тұрады. Тордың бірнеше түйіндері боялған, және олардың саны 14-ке тең. Қабырғалары сызықтарға параллель болатын, төрт төбесі де боялған тіктөртбұрыштың табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)