қазақша
русскийМатематикадан 28-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2011 жыл
Есеп №1. Трапеция болмайтын $ABCD$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған болсын және диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады. $F$ және $G$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $CD$ қабырғаларының орталары, ал $G$ нүктесі арқылы өтетін $l$ түзуі $AB$ түзуіне параллель. $H$ және $K$ нүктелері $E$ нүктесінен сәйкесінше $l$ және $CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табаны. $EF$ және $HK$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $x+y+z=0$ шарты орындалатындай $x, y$ және $z$ нақты сандары берілген. $
\dfrac {x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac {y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0
$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. $x,y,z$ қандай мәндерінде теңдік орындалады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $S$ жиыны келесідей қасиеттер орын алатын ақырлы натурал сандар жиыны болсын: егер $x$ — $S$ жиынының элементі болса, онда $x$-тің барлық оң бөлгіштері де $S$ жиынында жатады. $S$ жиынының бос емес $T$ ішкі жиынын жақсы деп айтамыз, егер кез келген $x, y\in T$ және $x < y$ сандары үшін $y/x$ қатынасы жай санның дәрежесі болса. $S$ жиынының бос емес $T$ жиынын жаман деп айтамыз, егер кез келген $x, y\in T$ және $x < y$ сандары үшін $y/x$ қатынасы жай санның дәрежесі болмаса. $S$ жиынының бір элементі бар ішкі жиынын жақсы да жаман да деп келісейік. $S$ жиынының жақсы ішкі жиынының мүмкін болатын ең үлкен өлшемі $k$ болсын. Бірігуі $S$ жиынын беретін өзара-қиылыспайтын жаман ішкі жиындардың ең кіші саны $k$ болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABCDEF$ дөңес алтыбұрыштың ауданы 1-ге тең және қарсы қабырғалары бір-біріне параллель болсын. $AB$, $CD$ және $EF$ қабырғаларының жұптары бір үшбұрыштың төбелерін құрайды, ал $BC$, $DE$ және $FA$ түзулерінің жұптары басқа бір үшбұрыштың төбелерін құрайды. Осы үшбұрыштардың кем дегенде біреуінің ауданы $3/2$-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)