Математикадан 28-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2011 жыл

Есеп №1. Трапеция болмайтын

$ABCD$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған болсын және диагоналдары

$E$ нүктесінде қиылысады.

$F$ және

$G$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ және

$CD$ қабырғаларының орталары, ал

$G$ нүктесі арқылы өтетін

$l$ түзуі

$AB$ түзуіне параллель.

$H$ және

$K$ нүктелері

$E$ нүктесінен сәйкесінше

$l$ және

$CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табаны.

$EF$ және

$HK$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$x+y+z=0$ шарты орындалатындай

$x, y$ және

$z$ нақты сандары берілген.

$\dfrac {x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac {y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.

$x,y,z$ қандай мәндерінде теңдік орындалады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$S$ жиыны келесідей қасиеттер орын алатын ақырлы натурал сандар жиыны болсын: егер

$x$ —

$S$ жиынының элементі болса, онда

$x$ -тің барлық оң бөлгіштері де

$S$ жиынында жатады.

$S$ жиынының бос емес

$T$ ішкі жиынын жақсы деп айтамыз, егер кез келген

$x, y\in T$ және

$x < y$ сандары үшін

$y/x$ қатынасы жай санның дәрежесі болса.

$S$ жиынының бос емес

$T$ жиынын жаман деп айтамыз, егер кез келген

$x, y\in T$ және

$x < y$ сандары үшін

$y/x$ қатынасы жай санның дәрежесі болмаса.

$S$ жиынының бір элементі бар ішкі жиынын жақсы да жаман да деп келісейік.

$S$ жиынының жақсы ішкі жиынының мүмкін болатын ең үлкен өлшемі

$k$ болсын. Бірігуі

$S$ жиынын беретін өзара-қиылыспайтын жаман ішкі жиындардың ең кіші саны

$k$ болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABCDEF$ дөңес алтыбұрыштың ауданы 1-ге тең және қарсы қабырғалары бір-біріне параллель болсын.

$AB$ ,

$CD$ және

$EF$ қабырғаларының жұптары бір үшбұрыштың төбелерін құрайды, ал

$BC$ ,

$DE$ және

$FA$ түзулерінің жұптары басқа бір үшбұрыштың төбелерін құрайды. Осы үшбұрыштардың кем дегенде біреуінің ауданы

$3/2$ -ден кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

результаты