28-я Балканская математическая олимпиадаЯссы, Румыния, 2011 год

Пусть $ABCD$ вписанный четырехугольник, который не является трапецией и диагонали которого пересекаются в точке $E$. Точки $F$ и $G$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно, а $l$ — прямая проходящая через $G$, параллельная $AB$. $H$ и $K$ основания перпендикуляров из $E$ на прямые $l$ и $CD$ соответственно. Докажите, что прямые $EF$ и $HK$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Пусть $\angle CAB=\angle CDE=\alpha, \ \angle ABD=\angle ACD=\beta , \ \angle DEG=\phi$ и $\angle AEF=\lambda$

В $\triangle AEB$ можно заметить что :

$$\frac{sin \ \alpha}{sin \ \beta}=\frac{sin \ \lambda}{sin \ (\alpha+\beta+\lambda)} \ (\star)$$ Точно также в $\triangle DEC$ мы имеем $$\frac{sin \ \alpha}{sin \ \beta}=\frac{sin \ \phi}{sin \ (\alpha +\beta + \phi)} \ (\star\star)$$ Из $(\star)$ и $(\star\star)$ следует что $$\frac{sin \ \phi}{sin \ (\alpha+\beta+\phi)} = \frac{sin \ \lambda}{sin \ (\alpha +\beta + \lambda)}$$ .Решая получим что $\alpha = -\beta$ (Что невозможно) тогда $\phi=\lambda$ откуда по углам легко убедиться что $\angle EKT=\beta+\phi$ где $T=HK\cap FE$ и так как $\phi=\lambda$ мы получим что $\angle KET =90^{\circ}-\beta - \phi$ откуда следует $\angle ETK=90^{\circ}$