Математикадан 28-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2011 жыл

Трапеция болмайтын $ABCD$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған болсын және диагоналдары $E$ нүктесінде қиылысады. $F$ және $G$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $CD$ қабырғаларының орталары, ал $G$ нүктесі арқылы өтетін $l$ түзуі $AB$ түзуіне параллель. $H$ және $K$ нүктелері $E$ нүктесінен сәйкесінше $l$ және $CD$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табаны. $EF$ және $HK$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $\angle CAB=\angle CDE=\alpha, \ \angle ABD=\angle ACD=\beta , \ \angle DEG=\phi$ и $\angle AEF=\lambda$

В $\triangle AEB$ можно заметить что : $$\frac{sin \ \alpha}{sin \ \beta}=\frac{sin \ \lambda}{sin \ (\alpha+\beta+\lambda)} \ (\star)$$ Точно также в $\triangle DEC$ мы имеем $$\frac{sin \ \alpha}{sin \ \beta}=\frac{sin \ \phi}{sin \ (\alpha +\beta + \phi)} \ (\star\star)$$ Из $(\star)$ и $(\star\star)$ следует что $$\frac{sin \ \phi}{sin \ (\alpha+\beta+\phi)} = \frac{sin \ \lambda}{sin \ (\alpha +\beta + \lambda)}$$ .Решая получим что $\alpha = -\beta$ (Что невозможно) тогда $\phi=\lambda$ откуда по углам легко убедиться что $\angle EKT=\beta+\phi$ где $T=HK\cap FE$ и так как $\phi=\lambda$ мы получим что $\angle KET =90^{\circ}-\beta - \phi$ откуда следует $\angle ETK=90^{\circ}$