қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. ${{n}^{2}}+n+5$ саны толық квадрат болатындай барлық натурал $n$ санын тап.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Әрбір $x\in (g,h)$ үшін $f(x)f(x-1) < 0$ және $f(x)f(x+1) < 0$ болатындай бос емес $(g,h)$ интервалы табылатын барлық $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ функцияларын анықтаңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABCD$ ромбында $\angle B={{60}^{\circ }}$. Ромбтың ішінен $\angle APC={{120}^{\circ }}$, $BP=3$ және $DP=2$ болатындай етіп $P$ нүктесі алынған. $AP$ және $CP$ кесінділерінің ұзындықтарының айырмасын тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген $x$ нақты саны үшін теңсіздікті дәлелде:
${{x}^{8}}-{{x}^{5}}+{{x}^{2}}-x+1 > 0$.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №5. $\dfrac{1}{1+{{1}^{2}}+{{1}^{4}}}+\dfrac{1}{1+{{2}^{2}}+{{2}^{4}}}+ \ldots +\dfrac{100}{1+{{100}^{2}}+{{100}^{4}}}$ қосындысының мәнін тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $AB \parallel EF$ болатын $ABCD$ және $EFGH$ бірлік квадраттарының қиылысу ауданы $1/16$-ге тең. Осы квадраттардың центрлерінің ара қашықтығының ең аз мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)