Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

${{n}^{2}}+n+5$ саны толық квадрат болатындай барлық натурал

$n$ санын тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Әрбір

$x\in (g,h)$ үшін

$f(x)f(x-1) < 0$ және

$f(x)f(x+1) < 0$ болатындай бос емес

$(g,h)$ интервалы табылатын барлық

$f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ функцияларын анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABCD$ ромбында

$\angle B={{60}^{\circ }}$ . Ромбтың ішінен

$\angle APC={{120}^{\circ }}$ ,

$BP=3$ және

$DP=2$ болатындай етіп

$P$ нүктесі алынған.

$AP$ және

$CP$ кесінділерінің ұзындықтарының айырмасын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген

$x$ нақты саны үшін теңсіздікті дәлелде:

${{x}^{8}}-{{x}^{5}}+{{x}^{2}}-x+1 > 0$ .
комментарий/решение(6)

Есеп №5.

$\dfrac{1}{1+{{1}^{2}}+{{1}^{4}}}+\dfrac{1}{1+{{2}^{2}}+{{2}^{4}}}+ \ldots +\dfrac{100}{1+{{100}^{2}}+{{100}^{4}}}$ қосындысының мәнін тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$AB \parallel EF$ болатын

$ABCD$ және

$EFGH$ бірлік квадраттарының қиылысу ауданы

$1/16$ -ге тең. Осы квадраттардың центрлерінің ара қашықтығының ең аз мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение(1)