Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс

Найдите значение суммы: $$ \frac{1} {{1 + 1^2 + 1^4 }} + \frac{2} {{1 + 2^2 + 2^4 }} + \ldots + \frac{{100}} {{1 + 100^2 + 100^4 }}. $$

Комментарий/решение

$a^4+a^2+1=\dfrac{a^6-1}{a^2-1} = \dfrac{(a^2-1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)}{a^2-1}$

Значит $\dfrac{a}{1+a^2+a^4} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{a^2-a+1} - \dfrac{1}{a^2+a+1})$

Заметим то что $\dfrac{1}{a^2+a+1} = \dfrac{1}{(a+1)^2-(a+1)+1}$

Значит вся сумма равна $ \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{1} + \dfrac{100}{100^2+100+1}) = \dfrac{5050}{10101}$