қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^2+n+5$ является полным квадратом.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите все функции $f(x)=ax^2+bx+c$, для которых существует непустой интервал
$(g,h)$ такой, что $f(x)f(x-1)<0$ и $f(x)f(x+1)<0$ для любого $x\in (g,h)$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В ромбе $ABCD$ угол $\angle B=60^\circ $. Внутри ромба выбрана точка $P$ такая, что $\angle APC=120^\circ $, $BP=3$ и $DP=2$.
Найдите разность длин отрезков $AP$ и $CP$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Для любого вещественного числа x докажите неравенство $x^8-x^5+x^2-x+1>0.$
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №5. Найдите значение суммы: $$
\frac{1}
{{1 + 1^2 + 1^4 }} + \frac{2}
{{1 + 2^2 + 2^4 }} + \ldots + \frac{{100}}
{{1 + 100^2 + 100^4 }}.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Единичные квадраты $ABCD$ и $EFGH$ имеют стороны $AB||EF$ и площадь пересечения $1/16$.
Найдите минимальное возможное расстояние между центрами этих квадратов.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)