Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс

Задача №1. Найдите все натуральные числа

$n$ такие, что число

$n^2+n+5$ является полным квадратом.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Найдите все функции

$f(x)=ax^2+bx+c$ , для которых существует непустой интервал

$(g,h)$ такой, что

$f(x)f(x-1)<0$ и

$f(x)f(x+1)<0$ для любого

$x\in (g,h)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В ромбе

$ABCD$ угол

$\angle B=60^\circ$ . Внутри ромба выбрана точка

$P$ такая, что

$\angle APC=120^\circ$ ,

$BP=3$ и

$DP=2$ . Найдите разность длин отрезков

$AP$ и

$CP$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Для любого вещественного числа x докажите неравенство

$x^8-x^5+x^2-x+1>0.$
комментарий/решение(6)

Задача №5. Найдите значение суммы:

$\frac{1} {{1 + 1^2 + 1^4 }} + \frac{2} {{1 + 2^2 + 2^4 }} + \ldots + \frac{{100}} {{1 + 100^2 + 100^4 }}.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Единичные квадраты

$ABCD$ и

$EFGH$ имеют стороны

$AB||EF$ и площадь пересечения

$1/16$ . Найдите минимальное возможное расстояние между центрами этих квадратов.
комментарий/решение(1)