Processing math: 100%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл


Есеп №1. Сүйір бұрышты ABC үшбұрышының AD, BE және CF биіктіктері, ал O — оған сырттай сызылған шыңбердің центрі болсын. OA, OF, OB, OD, OC, OE кесінділері ABC үшбұрышын аудандары өзара тең үш үшбұрыштар жұбына бөлетінін көрсетндер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2.  n2+1[n]2+2 саны бүтін болатындай барлық оң бүтін n сандарын табыңыздар. Бұл жерде [r] саны — r санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)
Есеп №3.  Нақты a1, a2, , ak, b1, b2, , bk берілген 2k сандары үшін Xn=ki=1[ain+bi] (n=1, 2,) тізбегін анықтайық. Егер Xn тізбегі арифметикалық прогрессия құраса, онда ki=1ai бүтін сан болу керек екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде [r] саны — r санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)
Есеп №4. a мен b бүтін оң сандар, ал A мен B төменгі шарттарды қанағаттандыратын шекті бүтін сандар жиындары болсын:
(i) A мен B жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін i саны A немесе B жиынында болса, онда i+a саны A жиынында немесе ia саны B жиыныда болады.
Олай болса, a|A|=b|B| екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде |X|X жиынының элементтер саны.)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. ABCD ω шеңберіне іштей сызылған төртбұрыш және PB мен PD ω-ны жанайтындай PAC түзуіндегі нүкте болсын. ω-ның C нүктесіндегі жанамасы PD түзуін Q нүктесінде, ал AD түзуін R нүктесінде қисын. AQ түзуі ω-мен екінші рет E нүктесінде қиылыссын. B, E және R нүктелері коллениар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
результаты