Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл

Есеп №1. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ ,

$BE$ және

$CF$ биіктіктері, ал

$O$ — оған сырттай сызылған шыңбердің центрі болсын.

$OA$ ,

$OF$ ,

$OB$ ,

$OD$ ,

$OC$ ,

$OE$ кесінділері

$ABC$ үшбұрышын аудандары өзара тең үш үшбұрыштар жұбына бөлетінін көрсетндер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$\dfrac{{{n}^{2}}+1}{{{[\sqrt{n}]}^{2}}+2}$ саны бүтін болатындай барлық оң бүтін

$n$ сандарын табыңыздар. Бұл жерде

$[r]$ саны —

$r$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Нақты

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{k}}$ ,

${{b}_{1}}$ ,

${{b}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{b}_{k}}$ берілген

$2k$ сандары үшін

${{X}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{[{{a}_{i}}n+{{b}_{i}}]}$

$(n=1,\text{ }2, \ldots)$ тізбегін анықтайық. Егер

${{X}_{n}}$ тізбегі арифметикалық прогрессия құраса, онда

$\sum\limits_{i=1}^{k}{{{a}_{i}}}$ бүтін сан болу керек екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде

$[r]$ саны —

$r$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$a$ мен

$b$ бүтін оң сандар, ал

$A$ мен

$B$ төменгі шарттарды қанағаттандыратын шекті бүтін сандар жиындары болсын:
(i)

$A$ мен

$B$ жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін

$i$ саны

$A$ немесе

$B$ жиынында болса, онда

${i+a}$ саны

$A$ жиынында немесе

${i-a}$ саны

$B$ жиыныда болады.
Олай болса,

$a|A|=b|B|$ екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде

$|X|$ —

$X$ жиынының элементтер саны.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған төртбұрыш және

$PB$ мен

$PD$

$\omega$ -ны жанайтындай

$P$ —

$AC$ түзуіндегі нүкте болсын.

$\omega$ -ның

$C$ нүктесіндегі жанамасы

$PD$ түзуін

$Q$ нүктесінде, ал

$AD$ түзуін

$R$ нүктесінде қисын.

$AQ$ түзуі

$\omega$ -мен екінші рет

$E$ нүктесінде қиылыссын.

$B$ ,

$E$ және

$R$ нүктелері коллениар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

результаты