Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл
Есеп №1. Сүйір бұрышты ABC үшбұрышының AD, BE және CF биіктіктері, ал O — оған сырттай сызылған шыңбердің центрі болсын. OA, OF, OB, OD, OC, OE кесінділері ABC үшбұрышын аудандары өзара тең үш үшбұрыштар жұбына бөлетінін көрсетндер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. n2+1[√n]2+2 саны бүтін болатындай барлық оң бүтін n сандарын табыңыздар. Бұл жерде [r] саны — r санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Нақты a1, a2, …, ak, b1, b2, …, bk берілген 2k сандары үшін Xn=k∑i=1[ain+bi] (n=1, 2,…) тізбегін анықтайық. Егер Xn тізбегі арифметикалық прогрессия құраса, онда k∑i=1ai бүтін сан болу керек екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде [r] саны — r санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. a мен b бүтін оң сандар, ал A мен B төменгі шарттарды қанағаттандыратын шекті бүтін сандар жиындары болсын:
(i) A мен B жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін i саны A немесе B жиынында болса, онда i+a саны A жиынында немесе i−a саны B жиыныда болады.
Олай болса, a|A|=b|B| екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде |X| — X жиынының элементтер саны.)
комментарий/решение(1)
(i) A мен B жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін i саны A немесе B жиынында болса, онда i+a саны A жиынында немесе i−a саны B жиыныда болады.
Олай болса, a|A|=b|B| екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде |X| — X жиынының элементтер саны.)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. ABCD ω шеңберіне іштей сызылған төртбұрыш және PB мен PD ω-ны жанайтындай P — AC түзуіндегі нүкте болсын. ω-ның C нүктесіндегі жанамасы PD түзуін Q нүктесінде, ал AD түзуін R нүктесінде қисын. AQ түзуі ω-мен екінші рет E нүктесінде қиылыссын. B, E және R нүктелері коллениар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)