Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2013 год

Для заданных $2k$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots \,$, $a_k$, $b_1$, $b_2$, $\dots \,$, $b_k$ определим последовательность $X_n$ по формуле $$X_n = \sum_{i=1}^{k} [a_i n + b_i] \quad (n = 1, 2, \ldots).$$ Докажите, что если $X_n$ образуют арифметическую прогрессию, то число $\sum_{i = 1}^{k} a_i$ — целое. Здесь $[r]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $r$.

Комментарий/решение

Определим $\textstyle \sum a_i=A,\sum b_i=B$ и предположим, что $X_i=X_1+(i-1)d$. Поскольку $X_1$ и $X_2$ — целые числа, то $X_2-X_1=d$ также является целым числом.

$\textstyle \sum a_in+b_i+1>\sum \lfloor a_in+b_i\rfloor>\sum a_in+b_i-1$

$nA+B+k>X_n>nA+B-k\quad (1)$

Полагая $n=1$, получаем, что $A+B+k>X_1>A+B-k k-A-B>-X_1>-A-B-k\quad (2)$

Сложив (1) и (2), получаем $(n-1)A+2k>X_n-X_1>(n-1)A-2k 2k>(n-1)(d-A)>-2k$

Таким образом, если $d-A$ положителен (соответственно отрицателен), переход $n\to \infty$ пересечет верхнюю (соответственно нижнюю) границу. Итак, $d-A=0 d=A$. Так как $d$ целое число, то и $A$ тоже целое число.

Поскольку $\sum_{i=1}^k[a_in+b_i]$ и $\sum_{i=1}^k( a_in+b_i)$арифметические прогрессии, то их разность, а именно $Y_n=\sum_{i=1}^k\{a_in+b_i\}$ - тоже арифметическая прогрессия. Из ограниченности $Y_n$ постоянно. Поэтому $Y_2-Y_1=0$, то есть разность $$\sum_{i=1}^k(2a_i+b_i)-\sum_{i=1}^k(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^ka_i$$ целая. Что требовалось