Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл

Нақты ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$, $\ldots$, ${{b}_{k}}$ берілген $2k$ сандары үшін ${{X}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{[{{a}_{i}}n+{{b}_{i}}]}$ $(n=1,\text{ }2, \ldots)$ тізбегін анықтайық. Егер ${{X}_{n}}$ тізбегі арифметикалық прогрессия құраса, онда $\sum\limits_{i=1}^{k}{{{a}_{i}}}$ бүтін сан болу керек екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде $[r]$ саны — $r$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.

Комментарий/решение

Определим $\textstyle \sum a_i=A,\sum b_i=B$ и предположим, что $X_i=X_1+(i-1)d$. Поскольку $X_1$ и $X_2$ — целые числа, то $X_2-X_1=d$ также является целым числом.

$\textstyle \sum a_in+b_i+1>\sum \lfloor a_in+b_i\rfloor>\sum a_in+b_i-1$

$nA+B+k>X_n>nA+B-k\quad (1)$

Полагая $n=1$, получаем, что $A+B+k>X_1>A+B-k k-A-B>-X_1>-A-B-k\quad (2)$

Сложив (1) и (2), получаем $(n-1)A+2k>X_n-X_1>(n-1)A-2k 2k>(n-1)(d-A)>-2k$

Таким образом, если $d-A$ положителен (соответственно отрицателен), переход $n\to \infty$ пересечет верхнюю (соответственно нижнюю) границу. Итак, $d-A=0 d=A$. Так как $d$ целое число, то и $A$ тоже целое число.

Поскольку $\sum_{i=1}^k[a_in+b_i]$ и $\sum_{i=1}^k( a_in+b_i)$арифметические прогрессии, то их разность, а именно $Y_n=\sum_{i=1}^k\{a_in+b_i\}$ - тоже арифметическая прогрессия. Из ограниченности $Y_n$ постоянно. Поэтому $Y_2-Y_1=0$, то есть разность $$\sum_{i=1}^k(2a_i+b_i)-\sum_{i=1}^k(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^ka_i$$целая. Что требовалось