қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2008 жыл
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $\angle A <60^\circ $. $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $CA+AX=CB+BX$ және $BA+AY=BC+CY$ теңдіктері орындалатындай $X$ пен $Y$ нүктелері алынсын. Жазықтықтағы $P$ нүктесі үшін $PX \perp AB$ и $PY \perp AC$ шарттары орындалады. $\angle BPC<120{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Ученики в классе формируют группы, каждая из которых содержит ровно три ученика, таким образом, что любые две различные группы имеют не более одного ученика в общем. Докажите, что если в классе 46 учеников, то найдется множество из 10 учащихся в котором ни одна группа строго не содержится.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\Gamma$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $A$ және $C$ арқылы өтетін шеңбер $BC$ және $BA$ қабырғаларын $D$ және $E$ нүктелерінде қисын. $AD$ және $CE$ түзулері $\Gamma$-ны екінші рет сәйкесінше $G$ және $H$ нүктелерінде қияды. $\Gamma$-ға $A$ және $C$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $DE$ түзуімен сәйкесінше $L$ және $M$ нүктелерінде қиылысады. $LH$ және $MG$ түзулерінің қиылысу нүктесі $\Gamma$-ның бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Келесі шарттармен анықталған $f : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ функциясын қарастырайық (бұл жерде $\mathbb{N}_0$ — теріс емес бүтін сандар жиыны):
(i) $f(0) = 0$,
(ii) $f(2n) = 2f(n)$,
(iii) $f(2n + 1) = n + 2f(n)$, кез келген $n \geq 0$ үшін.
(a) Төменгі шарттар орындалатын $L$, $E$, $G$ үш жиынын табыңыздар: $$L= \{n| f(n) < f(n + 1)\},$$ $$E= \{n | f(n) = f(n + 1)\},$$ $$G= \{ n|f(n) > f(n + 1)\}.$$
(b) Барлық $k \geq 0$ үшін $a_k = \max \{f(n): 0 \leq n \leq 2^k\}$ болатындай, $a_k$-ның $k$-ға байланысты жалпы формуласын табыңыз.
комментарий/решение(1)
(i) $f(0) = 0$,
(ii) $f(2n) = 2f(n)$,
(iii) $f(2n + 1) = n + 2f(n)$, кез келген $n \geq 0$ үшін.
(a) Төменгі шарттар орындалатын $L$, $E$, $G$ үш жиынын табыңыздар: $$L= \{n| f(n) < f(n + 1)\},$$ $$E= \{n | f(n) = f(n + 1)\},$$ $$G= \{ n|f(n) > f(n + 1)\}.$$
(b) Барлық $k \geq 0$ үшін $a_k = \max \{f(n): 0 \leq n \leq 2^k\}$ болатындай, $a_k$-ның $k$-ға байланысты жалпы формуласын табыңыз.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $a$, $b$ және $c$ сандары $0 < a < {c - 1}$ және $1 < b < c$ болатындай бүтін сандар болсын. Барлық $k$ $(0 \leq k \leq a)$ үшін $r_k$ арқылы ${(0 \leq r_k < c)}$ $kb$ санын $c$-ға бөлгендегі қалдықты белгілейік. Келесі екі $\{r_0, r_1, r_2, \ldots \,, r_a\}$ және $\{0, 1, 2, \ldots, a\}$ жиындары әртүрлі екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)