Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2008 жыл

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle A <60^\circ$ .

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан

$CA+AX=CB+BX$ және

$BA+AY=BC+CY$ теңдіктері орындалатындай

$X$ пен

$Y$ нүктелері алынсын. Жазықтықтағы

$P$ нүктесі үшін

$PX \perp AB$ и

$PY \perp AC$ шарттары орындалады.

$\angle BPC<120{}^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Ученики в классе формируют группы, каждая из которых содержит ровно три ученика, таким образом, что любые две различные группы имеют не более одного ученика в общем. Докажите, что если в классе 46 учеников, то найдется множество из 10 учащихся в котором ни одна группа строго не содержится.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\Gamma$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын.

$A$ және

$C$ арқылы өтетін шеңбер

$BC$ және

$BA$ қабырғаларын

$D$ және

$E$ нүктелерінде қисын.

$AD$ және

$CE$ түзулері

$\Gamma$ -ны екінші рет сәйкесінше

$G$ және

$H$ нүктелерінде қияды.

$\Gamma$ -ға

$A$ және

$C$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$DE$ түзуімен сәйкесінше

$L$ және

$M$ нүктелерінде қиылысады.

$LH$ және

$MG$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$\Gamma$ -ның бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Келесі шарттармен анықталған

$f : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ функциясын қарастырайық (бұл жерде

$\mathbb{N}_0$ — теріс емес бүтін сандар жиыны):
(i)

$f(0) = 0$ ,
(ii)

$f(2n) = 2f(n)$ ,
(iii)

$f(2n + 1) = n + 2f(n)$ , кез келген

$n \geq 0$ үшін.
(a) Төменгі шарттар орындалатын

$L$ ,

$E$ ,

$G$ үш жиынын табыңыздар:

$L= \{n| f(n) < f(n + 1)\},$

$E= \{n | f(n) = f(n + 1)\},$

$G= \{ n|f(n) > f(n + 1)\}.$
(b) Барлық

$k \geq 0$ үшін

$a_k = \max \{f(n): 0 \leq n \leq 2^k\}$ болатындай,

$a_k$ -ның

$k$ -ға байланысты жалпы формуласын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$0 < a < {c - 1}$ және

$1 < b < c$ болатындай бүтін сандар болсын. Барлық

$k$

$(0 \leq k \leq a)$ үшін

$r_k$ арқылы

${(0 \leq r_k < c)}$

$kb$ санын

$c$ -ға бөлгендегі қалдықты белгілейік. Келесі екі

$\{r_0, r_1, r_2, \ldots \,, r_a\}$ және

$\{0, 1, 2, \ldots, a\}$ жиындары әртүрлі екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

результаты