Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2008 год
Комментарий/решение:
Известная лемма: При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Решение:
1) Пусть AEDC вписанный четырехугольник и пусть I∈AD∩EC, тогда рассмотрим инверсию прямой AD относительно данной окружности, по лемме она переходит в окружность ω1 проходящей через AOD, аналогично рассмотрим прямую CE она переходит ω2 проходящей через EOC пусть F∈ω1∩ω2 тогда I переходит в F значит F,I,O лежат на одной прямой, так же пусть L∈DE∩ω1, M∈DE∩ω2 тогда LO,MO по построению биссектрисы ∠ALD,∠CME соответственно, и ∠ACE=∠EDA=∠LOA но ∠AOE=2∠ACE то есть ∠AOL=∠LOE значит LE=LA аналогично MD=MC тогда ∠AFC=∠AFO+∠CFO=∠ALO+∠CMO=90∘−∠ACD+90∘−∠EAC=180∘−∠ACD−∠EAC тогда если B∈AE∩CD то ABFC вписанный .
2) С другой стороны ∠CHG=∠CAD=∠HEM значит HG||LM, тогда пусть на Γ взята произвольная точка F′ пусть M′∈FH′∩DE тогда ∠GAF′=∠GHF′=∠DM′F′ из-за параллельности, значит F′DAM′ лежат на одной окружности, аналогично и со вторым.
3) объединяя 1 и 2 получаем L′=L, F′=F, M′=M то есть F∈Γ
Решение через Паскаля:
Пусть LH∩Γ=P(P≠H) а так же MG∩Γ=Q(Q≠G).
Теперь применим теорему Паскаля на шестиугольник AACHPB получаем что точки L,E,BP∩AC лежат на одной прямой. Так что BP∩AC∈DE. Аналогично применив Паскаля для AACHQB, заключаем что BQ∩AC∈DE.
И этого достаточно для того что P=Q
i
(Epsilon 5.3)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.