Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2008 год


Пусть Γ — описанная окружность треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A и C пересекает стороны BC и BA в точках D и E соответственно. Прямые AD и CE повторно пересекает Γ в точках G и H соответственно. Касательные к Γ в точках A и C пересекают прямую DE в точках L и M соответственно. Доказать, что прямые LH и MG пересекаются на Γ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
3 года 9 месяца назад #

Известная лемма: При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

Решение:

1) Пусть AEDC вписанный четырехугольник и пусть IADEC, тогда рассмотрим инверсию прямой AD относительно данной окружности, по лемме она переходит в окружность ω1 проходящей через AOD, аналогично рассмотрим прямую CE она переходит ω2 проходящей через EOC пусть Fω1ω2 тогда I переходит в F значит F,I,O лежат на одной прямой, так же пусть LDEω1, MDEω2 тогда LO,MO по построению биссектрисы ALD,CME соответственно, и ACE=EDA=LOA но AOE=2ACE то есть AOL=LOE значит LE=LA аналогично MD=MC тогда AFC=AFO+CFO=ALO+CMO=90ACD+90EAC=180ACDEAC тогда если BAECD то ABFC вписанный .

2) С другой стороны CHG=CAD=HEM значит HG||LM, тогда пусть на Γ взята произвольная точка F пусть MFHDE тогда GAF=GHF=DMF из-за параллельности, значит FDAM лежат на одной окружности, аналогично и со вторым.

3) объединяя 1 и 2 получаем L=L, F=F, M=M то есть FΓ

пред. Правка 4   6
2 года 8 месяца назад #

Решение через Паскаля:

Пусть LHΓ=P(PH) а так же MGΓ=Q(QG).

Теперь применим теорему Паскаля на шестиугольник AACHPB получаем что точки L,E,BPAC лежат на одной прямой. Так что BPACDE. Аналогично применив Паскаля для AACHQB, заключаем что BQACDE.

И этого достаточно для того что P=Q

i

(Epsilon 5.3)

  0
2 года 8 месяца назад #

бро залей решение через паскаль МОШП 2022

  4
2 года 8 месяца назад #

вы про 1ю задачу?